首先得要說一句，你這個命題其實不成立，因為你沒寫這個閉區間是否有界，必須是有界閉區間內的連續函式才能保證有最值。所以以下全部假設這個閉區間有界。

懶得寫嚴格證明步驟了，就說一下證明思路吧，其實這個問題的證明不是很直白，需要很多數學分析上的小定理作為鋪墊。總體思路是首先證明函式在閉區間內有界，然後證明上確界和下確界就是他的最大值和最小值。

以下是證明思路，真的有點臭長，其中不少定理用到的還不止一次

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首先證明閉區間內任何收斂數列{An}都收斂於這個區間內（閉區間有各種不同的定義，其中一種定義就是其內所有收斂數列都收斂於區間內，則稱為閉區間，如果你說的閉區間是這種定義，這一步可以略過）

2. 對於任意在該區間內收斂的數列{An}，透過函式（命名這個函式為f）的連續性可知，{f(An)}也是收斂的。（課本定理）

3. 證明任意數列都有一個單調的子數列。（課本定理）

4. 證明任意有界單調數列都必有極限。（課本定理）

5. 透過3和4可知任意有界數列都有一個收斂的子數列。

6. 聯合使用第2/5這兩條反證有界閉區間內的連續函式必有界：

假設此函式在這個區間內無上界（也就是說這個函式），那麼必然存在一個在定義域區間內的數列{An}使得

f(A1)>1,

f(A2)>2,

f(A3)>3,

...

f(An)>n,

...

也就是說對於任意{An}的收斂子數列{Bn}，{f(Bn)}都是發散的（因為對於任意N總存在一個整數k使得f(Bk) > N）。這與第2條矛盾，所以f存在上界。

同理f存在下界。

7. 證明對於任何有界數集，都有確界。（確界原理）

8. 綜合6/7兩條可以證明函式f在閉區間內必有上下確界。

9. 證明收斂數列的任何子數列都收斂於同一極限。（課本定理）

10. 對於這個函式f的上確界U，由確界的定義可以知道，對於任意的c > 0，都存在某個定義閉區間內的x使得 U - f(x) < c。由此可以構造出一個定義閉區間內的數列{An}，使得對於任意n都有

U - (1/n) < f(An) ≤ U

顯然這樣構造的{f(An)}是收斂於U的。不過注意這裡的{An}不一定是收斂的，f(An) ≤ U這點也並不是暗示一定存在某個n使得f(An)可以等於U，是存在對於每個n，都有f(An) < U的構造的，所以我們還需要下面的論述：

由上述第5條可以知道{An}存在收斂子數列{Bn}，設{Bn}收斂於B，又由上述第2條可知無論{Bn}怎麼選，{f(Bn)}都是收斂的。又由於{f(Bn)}是{f(An)}的子數列，透過第9條可以知道{f(Bn)}跟{f(An)}一樣也收斂於U。最後透過第1條可以知道{Bn}的極限B是在本題所說的閉區間內的，由連續函式的定義可以知道f(B) = U。所以f在這個閉區間內可以達到它的上確界，也就是說它存在最大值。

同理f存在最小值。

證畢