數學是嚴謹的，但並不意味著，數學的所有公式定理都能證明和證偽的。

數學中，反直覺的定理非常多，到底是我們的數學，本來就是違背真實世界的呢？還是我們的常識，本來就存在認知缺陷？不同的人有不同的答案。

一：費馬大定理

我們知道勾股數有無限個，勾三股四弦五，就是最簡單的勾股數。由此我們猜想：當次數n大於2時會怎麼樣？

費馬大定理指出：

這樣的形式，當指數n大於2時，不存在整數解。

利用費馬大定理，可以得到一些有趣的證明，比如證明3次根號2為無理數：

二：分球定理

數學中，有一條極其基本的公理，叫做選擇公理，許多數學內容都要基於這條定理才得以成立。

在1924年，數學家斯特·巴拿赫和阿爾弗萊德·塔斯基根據選擇公理，得到一個奇怪的推論——分球定理。

分球定理太違反直覺，但它就是選擇公理的嚴格推論，而且不容置疑的，除非你拋棄選擇公理，但數學家會為此付出更大的代價。

三：無窮大也有等級大小

在二十世紀以前，數學家們遇到無窮大都避而讓之，認為要麼哪裡出了問題，要麼結果是沒有意義的。

這也太違反直覺了，我們從來不把無窮大當作數，但是無窮大在超窮數理論中，卻存在不同的等級。

四：“可證”和“真”不是等價的

1931年，奧地利數學家哥德爾，提出一條震驚學術界的定理——哥德爾不完備定理。

可哥德爾不完備定理指出：該系統不存在，因為其中一定存在，我們不能證明也不能證偽的“東西”，也就是數學系統不可能是完備的，至少它的完備性和相容性不能同時得到滿足。

五：一維可以和二維甚至更高維度一一對應

按照我們的常識，二維比一維等級高，三維比四維等級高，比如線是一維的，所以線不能一一對應於面積。

說到一一對應，就離不開函式，那麼這樣從低維到高維的函式存在嗎？

答案是肯定的！

在1890年，義大利數學家皮亞諾，就發明了一個函式，使得函式在實軸[0,1]上的取值，可以一一對應於單位正方形上的所有點，這條曲線叫做皮亞諾曲線。

這個性質的發現，暗示著人類對維度的主觀認識，很可能是存在缺陷的。

六：地圖定理

該定理是這樣的，比如我們在國內，拿著中國地圖，那麼在該地圖上，一定存在一個點，使得圖上的點，和該點所在的真實地理位置精確一致，這麼一個點我們絕對能找到。

但利用這個定理，我們知道在一個公園的任意地方，標示一張地圖的話，我們一定能在圖上找到"當前所在位置"。

我們計算圓周率的公式有很多，很長一段時間裡，我們都認為要計算圓周的1000位，必須把前面999位計算出來。

可是在1995年，數學家就發現了一個神奇的公式，該公式可計算圓周率的任何一位數字，而不需要知道前面的數字。

詳細介紹見：《神奇的BBP公式，可獨立計算圓周率任何一位數字！》

八：負數可以開根號

小時候老師告訴我們"負負得正"，可是到了高中，老師又突然把虛數單位“i”扔給我們，告訴我們“i^2=-1”，這簡直就是反直覺啊！為何這個數的平方會是負數。

對於虛數“i”也是存在幾何意義的。

沒有這麼簡單這樣的事情。因為，一旦發現某一個數學體系不完整，存在未知的公理，那麼這個數學體系就會被徹底推翻，這可是件不得了的大事。幾千年前，有人發現了無理數證明了有理數體系有缺陷，結果這個人被扔進河裡淹死了。不過，他的發現也推動了數學的進步，人們總結出了更加完善的實數公理體系。我在這兒說得很簡單，實際上實數公理系的提出是在這位兄弟死了快三千年後才提出來的，也就是說這位兄弟不但獻出了生命，還蒙了三千年的冤，多慘啊！

下面言歸正傳，說說公理和公理的證明。所謂“道可道，非常道。”這裡的常道可以理解為公理。公理不可以用其它定理來證明。但是，公理也是需要證明的。這就很麻煩了，到底該怎麼辦呢？聰明的人類是用邏輯三原則來證明公理的。也就是說，公理不會獨立存在，它一定得形成一個體系。用體系中的公理可以推論出體系中的其它定理，這叫同一性。不管怎麼推都有相同的結論，這叫無矛盾。體系中任意的結論都可以用有限的幾個公理推匯出來，而且公理之間不能相互推導，所有的公理都是不可替代的。這叫排中律，數學上叫它完備性。所有的數學公理都經歷了這樣的邏輯證明。題主所說的情況，違反了完備性原則，如果確實存在，那麼整個數學體系就會被顛覆。絕不是加上一條公理就了事的問題。

數學上的幾何公理、皮亞諾公理、實數公理等等都經過了極其嚴密的證明過程。不可能出現題主假設的情形。如果題主有心挑戰公理體系，僅憑個別事實是不太可行的，我覺得還是挑挑邏輯三原則的漏洞更靠譜一些。

謝謝約答，人類數學有兩個思維導圖，第一個是數字1為最小的正整數，沒有最大的正整數，或者是最大的正整數是一個數的集合，無窮大。以此確定自然數為十個，即0123456789∑。數字是人類的計算工具。

第二個是數字沒有大小隻有多少，是以數字1或者文字一為統一的整體，謂之；《文數並舉》，為“主”數，以此展開人類思維邏輯方法。人為設定數有十一個，點零一二三四五六七八九，其中只有248為自然數。奇數357為求數，也就是說任何一個數字都是從“主數1”繁衍出來的。

給數字賦予了活動的生命，而不是一個冰冷數字。因為任何人類活動都離不開數字，所以有“對待者數，流行者氣，主宰者理”，數字不但是計算工具，更是人類的“理性”工具。

以此為準，你說講的問題，應用第一個數字思維方式，所謂的“證偽”是虛假的，所謂的“公式”是不確定的。

按照數字思維方式，理論上建立的東西必然能用數字證明。而且必然是自然法則的公理。比如數字4可以等於5。

公理都是非常簡單直觀的，就像你說的直線是直線這種，往上都叫定理。

你說的這種如果理論上無法證明，屬於神學。不存在你產這種理論上無法證明的公理，稍複雜的都要證明，公理數學上極少極少也極簡單。

至於能不能當定理我這這樣想，你實際工作中可以使用，但不能當定理。

例如哥德巴赫猜想，你用可以，但不能用它證明其他。

簡言之，沒有理論上不能證明的定理。

這要看它的實際價值。數學史上有過這樣的例子。平行線公理即是。在一個平面上，過直線外的一點，能夠且只能做一條直線與已知直線平行。看起來很顯然，但卻無法證明。因其不能證明，所以不能算是定理。但作為公理，又引起很多爭議。數學上的做法是很明智的。接受其為公理 ，將其納入公理化體系，可以得到歐氏幾何。拒絕承認它是公理，更不接受它是定理。由此而得到非歐幾何。不同的幾何學，有不同的用途，有不同的適用範圍。

不能當成公理，公理通常是無須計算的。一個計算公式能與實際符合或近似，而又無法理論證明，可以稱為“經驗公式”，不過，這種經驗公式很可能也有理論依據，只不過涉及的中間過程的理論過於複雜，當前還無法嚴格推導，而不得不忽略它。究竟是什麼情況，提問者沒有具體寫明，還難於明確判斷。