1986年全國初中數學競賽題第一題第3小題提到魔術數，原題是：將自然數n接寫在每一個自然數的右面，如果得到的新數都能被n整除，那麼n稱為魔術數，在小於130的自然數中，魔術數的個數是。
乍看起來，問題較棘手，但認真分析，並不難解決。
大家在理解魔術數定義時，就注意這幾個字：“接寫”、“每一個”（即任何一個），“都能”。
例如，把偶數2接寫在任何一個自然數右面得到的新數都是偶數，都能被2整除，所以2是魔術數。
怎樣求魔術數呢？
設a為魔術數，把a接寫在任何一個自然數x的右面得到的新數xa。
1.若a為一位數，則xa＝10x＋a能被a整除，即對任何一個自然數x，10x都能被a整除，就是10應是a的倍數，則a只能是1，2，5共3個。
2.若a為二位數，則xa＝100x＋a能被a整除，100應是a的倍數，a只能是10＝1×10，20＝2×10，25，50＝5×10，共4個。
3.若a為三位數，則xa＝1000x＋a能被a整除，1000應是a的倍數，a只能是100＝1×102，125，200＝2×102，250＝25×10，500＝5×102，共5個。
同理，若a為四位數，a只能是1000＝1×103，2000＝2×103，5000＝5×103，1250＝125×10，2500＝25×102。
一般地，當a為n位數（n≥3）時，魔術數可用以下形式表示：
1×10n－1，2×10n－1，5×10n－1，25×10n－2
125×10n－3。
這樣，我們便可以求出小於任何給定的自然數的魔術數及其個數。小於130的魔術數共9個：1，2，5，10，20，25，50，100，125，小於10的魔術數為3個，小於100的魔術數為7個，小於1000的魔術數為12個，小於10000的魔術數為17個……
我們觀察n位數的魔術數的個數：
當n＝1時為3個；
當n＝2時為4個；
當n＝k（k≥3）時總是5個。
所以，n≥2時，n增加1，n位數的魔術數的個數就增加5個。或者說，n位數（n≥2）以內的魔術數的個數正好組成公差為5的等差數列：7，12，17，22，27，32，……
1986年全國初中數學競賽題第一題第3小題提到魔術數，原題是：將自然數n接寫在每一個自然數的右面，如果得到的新數都能被n整除，那麼n稱為魔術數，在小於130的自然數中，魔術數的個數是。
乍看起來，問題較棘手，但認真分析，並不難解決。
大家在理解魔術數定義時，就注意這幾個字：“接寫”、“每一個”（即任何一個），“都能”。
例如，把偶數2接寫在任何一個自然數右面得到的新數都是偶數，都能被2整除，所以2是魔術數。
怎樣求魔術數呢？
設a為魔術數，把a接寫在任何一個自然數x的右面得到的新數xa。
1.若a為一位數，則xa＝10x＋a能被a整除，即對任何一個自然數x，10x都能被a整除，就是10應是a的倍數，則a只能是1，2，5共3個。
2.若a為二位數，則xa＝100x＋a能被a整除，100應是a的倍數，a只能是10＝1×10，20＝2×10，25，50＝5×10，共4個。
3.若a為三位數，則xa＝1000x＋a能被a整除，1000應是a的倍數，a只能是100＝1×102，125，200＝2×102，250＝25×10，500＝5×102，共5個。
同理，若a為四位數，a只能是1000＝1×103，2000＝2×103，5000＝5×103，1250＝125×10，2500＝25×102。
一般地，當a為n位數（n≥3）時，魔術數可用以下形式表示：
1×10n－1，2×10n－1，5×10n－1，25×10n－2
125×10n－3。
這樣，我們便可以求出小於任何給定的自然數的魔術數及其個數。小於130的魔術數共9個：1，2，5，10，20，25，50，100，125，小於10的魔術數為3個，小於100的魔術數為7個，小於1000的魔術數為12個，小於10000的魔術數為17個……
我們觀察n位數的魔術數的個數：
當n＝1時為3個；
當n＝2時為4個；
當n＝k（k≥3）時總是5個。
所以，n≥2時，n增加1，n位數的魔術數的個數就增加5個。或者說，n位數（n≥2）以內的魔術數的個數正好組成公差為5的等差數列：7，12，17，22，27，32，……