無限不迴圈小數也是一個確定的數，有確定的值，只是無法在十進位制下全部寫出來。

比如說π，證明它是無理數的方法有千千萬萬，並不是靠把它的小數點全部寫出來。

所以說我們先透過證明，推出π是無理數，然後推出π是無限不迴圈的，然後其表現形式就是小數點後面沒有迴圈。你要問為什麼無理數是無限不迴圈的，也有相關的證明。

總結：無限不迴圈是一種表現形式，並不是原因

無限，就是不斷的趨大，是一動態的狀況，所以找不到。但是，小數記法的數都是有理數，與是否迴圈無關。有理數是除法及以上(減加乘等等)的運算自封集。我們可以透過不斷的除運算，獲得進位制任一位的1，加上加減運算可得到每一位的任何值。所以無限不迴圈小數仍是有理數。無理數是開方及以下的各級運算(包含以上的各級運算)開拓成的。

無限不迴圈小數由於是無限的，要證明不迴圈，不一定要窮盡所有位數來證明不迴圈，這個永遠沒法做到，但是我們可用演算法證明不迴圈。眾所周知，π，可以說，它是世界上最有名的無理常數了，代表的是一個圓的周長與直徑之比或稱為“圓周率”。公元前250年左右，阿基米德給出了“圓周率”的估計值在3.1408-3.1428之間。中國南北朝時期的著名數學家祖沖之首次將“圓周率”精算到小數第七位，即在3.1415926和3.1415927之間，他提出的“密率與約率”對數學的研究有重大貢獻。直到15世紀，阿拉伯數學家阿爾·卡西才以“精確到小數點後17位”打破了這一紀錄。

對於現在的人們來講，計算圓周率並不是什麼難事，因為我們有了超級計算機，迄今為止，功能最強大的超級計算機已經將圓周率計算到了小數點後十萬億位，它仍然沒有出現迴圈。

在經過嚴密的邏輯推理之後，科學家早已利用反證法證明了圓周率是一個無理數，也就是說無論怎樣計算，十萬億位也好，百萬億位也罷，你永遠也算不盡。因為如果圓周率算盡了，就等於證明了真正的圓形是不存在的。

阿基米德在2200多年前就已經透過計算得到了精度高達99.9%的，在他那個年代還沒有定義小數，甚至連“0”的定義都沒有，在得到圓周率之前，阿基米德當然無法知道一個圓的周長，但是他可以從他知道的開始，比如正方形。把一個固定的園內切分成多邊形，隨著多邊形的邊無限分割，其與圓形就越來越近，但無論有多少條邊，其永遠都是多邊形，不可能像圓形一樣絕對平滑。這也是圓周率不能算盡的原因。

如果圓周率算盡了，那也就是說多邊形分割到一定的程度就會成為圓形，真正的圓形和真正的平滑曲線都是不存在的，顯然，事實並不是這樣，如果事實如此，整個數學體系就會崩塌。

π在生活中其實到處可見。比如，一條蜿蜒流淌的河流從源頭到河口之間曲曲折折的總長度平均是其源頭到河口之間直線距離的π倍。π讓我們明白，宇宙該是什麼樣就是什麼樣，它不會屈服於我們基於數學便利性的觀念。

在計算機發明之後，π就為不斷提速的機器提供了一個試驗場。那麼，把所有這些數字排出來到底有什麼用呢？資料試驗顯示，它們不僅僅是隨機的，它們中的任何一串與其他相同長度的一串出現的機率都是一樣的。也就是說，假如你把這篇文章或任何其他文章變成一串數字編碼，那麼你就會在π的無限數字排列中的某處找到它。

當然，這相對來說是無意義的，因為你無法知道在哪兒能找到你想要的。π的無限隨機性也可以更多地從豐富性的角度來看。讓人驚異的是，這樣的豐富性竟可能來自於如此簡單的規則：圓的周長與直徑的比值。這正是數學的特性，即基本的公式就能帶來出人意料且豐富多彩的現象。比如，平淡無奇的二次方程式可用來模擬從菌群生長到混沌表現的所有一切現象。π讓我們不禁去想，我們宇宙的複雜性是否也源自類似的簡單數學基本模組。