邊長為有理數a，b，c的三角形稱為有理三角形。海倫公式說明三角形的面積為：
一個自然的問題是： 給一個正有理數n，是否存在面積為n的有理三角形？
我們可以做一些簡單的觀察：
①由於可同時伸縮邊長，只需考慮 。
②取兩個有理直角三角形，若它們某直邊長度一樣，則可將兩三角形沿此邊拼成一個大的有理三角形，或將較長的三角形沿此邊去掉另一個三角形得到一個小的鈍角有理三角形，面積均為有理數。（由余弦定理易知，任何面積有理的有理三角形都可如此得到）
推論：對於非零有理數r，s，只要 就存在面積為K的有理三角形。
Pf：若r，s>1，則用②相加，若0<r<1，則用1/r代替r用②相減，若r<0，則用-r代替r再用②相加或相減，s的情況同理。
根據①，下面只需證明：
至多相差一個有理數的平方， 上述形式的K可取到任何正有理數。
Pf（Fine）：任給正有理數k，考慮 ，有理數x待定。代入有：
只需要右邊是平方數，就可知K可取到k（差一個平方），即證。
記 為我們需要的平方數，y待定。為了消去右邊的平方項，自然設 ，a待定。我們希望最後得到x的方程比較簡單，對比可知應取a使得 中 的項係數 為0，即取 ， 。
代入 ，解得
綜上，對任何正有理數k，令 ，其中 ，則K(差一個有理數的平方)=k。於是我們證明了：
1.任給一個正有理數n，存在一個面積為n的有理三角形。
可以直接驗證對於k>2，邊長為 的三角形面積也是k，這說明並不唯一，透過伸縮（ks^2 to k）我們得到：
2.任給一個正有理數n，存在無窮多個面積為n的有理三角形。
例：上述公式取k=1，邊長為5/3, 17/6, 3/2的有理三角形面積是1
比起不知來自何處的公式，利用橢圓曲線可給出一個解釋。
類似同餘數問題，面積為n（mod 有理數的平方）的有理三角形將對應一族橢圓曲線 上的非2階的有理點（t跑遍非零有理數，t=1則對應的三角形是直角三角形）具體對應為（Heron Triangles via Elliptic Curves）
而這族橢圓曲線的撓點有較好的控制（注意它們都有4個2階點，故根據B. Mazur的工作撓部分的有理點只能是 或 ，根據簡單的分析可排除3,6,8階撓點），撓部分只能有2階點和4階點。現在只需先構造一個面積為n的有理三角形，使它對應的點P不是特殊的4階點，那麼就無撓，則P的不同倍給出不同的面積為n的有理三角形。
注：根據海倫公式 ，考慮三角形的內切圓則a，b，c由p，q，r表出，更好的問題應該是：對於哪些有理數C， 中的四次曲面 （關於p，q，r）
有有理點？
上面的結論表明C取有理數的平方時， 有無數有理點（且p，q，r>0），其論證可推廣到任何正有理數C的情形。而公式解中各變數是k的有理函式，幾何來說是指曲面 包含虧格為0的曲線；橢圓曲線的解法表明， 包含正rank的橢圓曲線。
這一系列問題得到了很好的解決，大概是因為 （的射影化）是K3曲面並且 足夠對稱（有好的自同構）。在這方面有一個project是專門研究K3曲面的算術，比如著名的費馬曲面 ，又比如Ronald van Luijk有一篇文章An elliptic K3 surface associated to Heron triangles，是用K3曲面的理論得到存在無窮多個面積、周長都為給定值的海倫三角形（邊長、面積均為整數），但這方面我不甚瞭解，故暫且打住。
邊長為有理數a，b，c的三角形稱為有理三角形。海倫公式說明三角形的面積為：
一個自然的問題是： 給一個正有理數n，是否存在面積為n的有理三角形？
我們可以做一些簡單的觀察：
①由於可同時伸縮邊長，只需考慮 。
②取兩個有理直角三角形，若它們某直邊長度一樣，則可將兩三角形沿此邊拼成一個大的有理三角形，或將較長的三角形沿此邊去掉另一個三角形得到一個小的鈍角有理三角形，面積均為有理數。（由余弦定理易知，任何面積有理的有理三角形都可如此得到）
推論：對於非零有理數r，s，只要 就存在面積為K的有理三角形。
Pf：若r，s>1，則用②相加，若0<r<1，則用1/r代替r用②相減，若r<0，則用-r代替r再用②相加或相減，s的情況同理。
根據①，下面只需證明：
至多相差一個有理數的平方， 上述形式的K可取到任何正有理數。
Pf（Fine）：任給正有理數k，考慮 ，有理數x待定。代入有：
只需要右邊是平方數，就可知K可取到k（差一個平方），即證。
記 為我們需要的平方數，y待定。為了消去右邊的平方項，自然設 ，a待定。我們希望最後得到x的方程比較簡單，對比可知應取a使得 中 的項係數 為0，即取 ， 。
代入 ，解得
綜上，對任何正有理數k，令 ，其中 ，則K(差一個有理數的平方)=k。於是我們證明了：
1.任給一個正有理數n，存在一個面積為n的有理三角形。
可以直接驗證對於k>2，邊長為 的三角形面積也是k，這說明並不唯一，透過伸縮（ks^2 to k）我們得到：
2.任給一個正有理數n，存在無窮多個面積為n的有理三角形。
例：上述公式取k=1，邊長為5/3, 17/6, 3/2的有理三角形面積是1
比起不知來自何處的公式，利用橢圓曲線可給出一個解釋。
類似同餘數問題，面積為n（mod 有理數的平方）的有理三角形將對應一族橢圓曲線 上的非2階的有理點（t跑遍非零有理數，t=1則對應的三角形是直角三角形）具體對應為（Heron Triangles via Elliptic Curves）
而這族橢圓曲線的撓點有較好的控制（注意它們都有4個2階點，故根據B. Mazur的工作撓部分的有理點只能是 或 ，根據簡單的分析可排除3,6,8階撓點），撓部分只能有2階點和4階點。現在只需先構造一個面積為n的有理三角形，使它對應的點P不是特殊的4階點，那麼就無撓，則P的不同倍給出不同的面積為n的有理三角形。
注：根據海倫公式 ，考慮三角形的內切圓則a，b，c由p，q，r表出，更好的問題應該是：對於哪些有理數C， 中的四次曲面 （關於p，q，r）
有有理點？
上面的結論表明C取有理數的平方時， 有無數有理點（且p，q，r>0），其論證可推廣到任何正有理數C的情形。而公式解中各變數是k的有理函式，幾何來說是指曲面 包含虧格為0的曲線；橢圓曲線的解法表明， 包含正rank的橢圓曲線。
這一系列問題得到了很好的解決，大概是因為 （的射影化）是K3曲面並且 足夠對稱（有好的自同構）。在這方面有一個project是專門研究K3曲面的算術，比如著名的費馬曲面 ，又比如Ronald van Luijk有一篇文章An elliptic K3 surface associated to Heron triangles，是用K3曲面的理論得到存在無窮多個面積、周長都為給定值的海倫三角形（邊長、面積均為整數），但這方面我不甚瞭解，故暫且打住。