R=3V/S。
一、推導過程如下：
首先，我們先明確公式中的V 是指三稜錐的體積，S 是指三稜錐的表面積之和。
其實推導過程很簡單，就是用等體積法。
假設三稜錐A-BCD，內切球心為O，則O-ABC的體積加上O-ABD的體積加上O-ADC的體積加上O-BCD的體積等於A-BCD的體積，即1/3R*S(ABC)+1/3R*S(ABD)+1/3R*S(ACD)+1/3*S(BCD)=V，
化簡得1/3R*S=V，即R=3V/S。
二、正三稜錐
1、外接球半徑求法：設A－BCD是正三稜錐，側稜長為a，底面邊長為b，則外接球的球心一定在這個三稜錐的高上。設高為AM，連線DM交BC於E，連線AE，然後在面ADE內做側稜AD的垂直平分線交三稜錐的高AM於O，則O就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半徑。（當三稜錐的側稜與它的對面所成的線面角小於90度時，即角DAE小於90度時，球心在稜錐的內部；當線面角等於90度時，球心恰好在底面正三角形的中心M上；
當線面角大於90度時，球心在稜錐的外部，在稜錐高AM的延長線。面我給出的解法是第一種情況，球心在稜錐的內部。另兩種情況你自己可以照理推出。）設AO＝DO＝R則，DM＝2/3DE＝2/3*2分之根號3倍的b=b/根號3AM＝根號（a^2-b^2/3)，OM=AM-A0=根號（a^2-b^2/3)-R由DO＾2＝OM＾2＋DM＾2得，R＝根號3倍的a^2÷2倍的根號（3a^2-b^2)2、內接球半徑同樣是這個三稜錐內接球的球心也一定在這個三稜錐的高上。設高為AM，連線DM交BC於E，連線AE，然後在面ADE內做角AED的平分線交三稜錐的高AM於O，做OF垂直於AE，則O就是內接球的球心，OM＝OF＝rAE=根號（a^2-b^2/4)FE=ME=1/3AM=6分之根號3倍的b，AF=AE-FE=根號（a^2-b^2/4)-6分之根號3倍的bAO=AM-r=根號（a^2-b^2/3)-r由AO＾2＝OF＾2＋AF＾2得r=[根號3倍b^2+3b倍根號（4a^2-b^2)]/12倍根號（3a^2-b＾2）
R=3V/S。
一、推導過程如下：
首先，我們先明確公式中的V 是指三稜錐的體積，S 是指三稜錐的表面積之和。
其實推導過程很簡單，就是用等體積法。
假設三稜錐A-BCD，內切球心為O，則O-ABC的體積加上O-ABD的體積加上O-ADC的體積加上O-BCD的體積等於A-BCD的體積，即1/3R*S(ABC)+1/3R*S(ABD)+1/3R*S(ACD)+1/3*S(BCD)=V，
化簡得1/3R*S=V，即R=3V/S。
二、正三稜錐
1、外接球半徑求法：設A－BCD是正三稜錐，側稜長為a，底面邊長為b，則外接球的球心一定在這個三稜錐的高上。設高為AM，連線DM交BC於E，連線AE，然後在面ADE內做側稜AD的垂直平分線交三稜錐的高AM於O，則O就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半徑。（當三稜錐的側稜與它的對面所成的線面角小於90度時，即角DAE小於90度時，球心在稜錐的內部；當線面角等於90度時，球心恰好在底面正三角形的中心M上；
當線面角大於90度時，球心在稜錐的外部，在稜錐高AM的延長線。面我給出的解法是第一種情況，球心在稜錐的內部。另兩種情況你自己可以照理推出。）設AO＝DO＝R則，DM＝2/3DE＝2/3*2分之根號3倍的b=b/根號3AM＝根號（a^2-b^2/3)，OM=AM-A0=根號（a^2-b^2/3)-R由DO＾2＝OM＾2＋DM＾2得，R＝根號3倍的a^2÷2倍的根號（3a^2-b^2)2、內接球半徑同樣是這個三稜錐內接球的球心也一定在這個三稜錐的高上。設高為AM，連線DM交BC於E，連線AE，然後在面ADE內做角AED的平分線交三稜錐的高AM於O，做OF垂直於AE，則O就是內接球的球心，OM＝OF＝rAE=根號（a^2-b^2/4)FE=ME=1/3AM=6分之根號3倍的b，AF=AE-FE=根號（a^2-b^2/4)-6分之根號3倍的bAO=AM-r=根號（a^2-b^2/3)-r由AO＾2＝OF＾2＋AF＾2得r=[根號3倍b^2+3b倍根號（4a^2-b^2)]/12倍根號（3a^2-b＾2）