這看似荒唐的結論，道出了數學和實驗科學的區別。
當時大家缺乏對數學一些背景知識的瞭解，因此無法講得很透。這回我們學了很多數學的道理，能夠講得比較清楚了。
在上面的問題中，首先涉及到數學上一個被稱為“延拓”的概念。什麼是延拓呢？比如我們過去做減法，2-3的結果就不是自然數了，因此最早人們只能規定，減法必須是大數減去小數，不能反過來。
但是，後來人們就在想，如果我維持減法的邏輯，能否擴充套件一下數的範圍，看看在這樣的邏輯下，得到什麼結果呢？於是人們就拓展出負數，而且根據和大數減小數完全一樣的邏輯，得到了-1這個結果。這就是將減法這種運算延拓到更大的定義空間。
類似的，我們前面講了，將-1的平方根定義為虛數i，也是對開方運算的“延拓”。注意，延拓的要求是計算的邏輯和原來完全相同。你可以簡單地把延拓理解為在想象的世界裡，一次合乎邏輯的認知升級。
上面那個問題，其實也涉及到級數（也就是數列相加）這個運算的延拓。我們在前面講過，一個等比級數，如果比值小於1，它最終的和就是一個有限的數。但是對於下面這個級數，即調和級數：
Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……
無限地加下去，結果等於多少呢？看似它後面的各項越來越小，但是總和並不會收斂到一個有限的數，而是無窮大。以後，人們發現，各種計算級數的方法，能夠使用的前提就是，最終加起來需要是一個有限的數。如果是無窮大，那些方法算出來的結果沒有意義，這就如同要規定被減數必須大於減數一樣。
對於上面這一類調和級數，尤拉發現稍微作一點調整，它就會收斂，比如我們計算：
尤拉發現，它是一個有限的數，恰巧等於圓周率π^2/6。
再接下來，尤拉把這一類的級數再次推廣，讓級數中的每一項可以是任意的s次方。
即整數倒數的s次方之和，這裡面s可以是任何數。這個函式後來被稱為了黎曼Zeta函式（並沒有用尤拉的名字命名），但是它通常的解法卻被稱為了尤拉乘積公式。
尤拉發現只要s大於1，上面這個級數就是收斂的，存在有限的答案。如果s等於1，即前面的調和級數，級數和就是發散的，結果是無窮大。當然，如果s小於1，肯定更是發散的了，因為這時的數值比調和級數要大。於是，按照我們一般的做法，就是為這種Zeta函式畫一個有意義的定義域，即s必須大於1。
但是尤拉作為歷史上有名的大數學家是很有想象力的。尤拉就想了，如果讓s變成了負數，然後還是用s>1的邏輯來計算相應的級數，會是什麼樣的結果呢？
這種想法在我們的現實世界裡是很荒唐的。這就如同大家在小時候如果問老師2-3等於幾，大部分老師都會說，別管它，只能是大數減小數，不能倒過來。
但是，尤拉沒有去管這件事有沒有現實的意義，他只是按照過去的邏輯算了算，就得到一些有趣的結論，比如s＝-1，這個級數其實就是：
Z（-1）= 1+2+3+4+……，即正整數之和，算出來的結果居然是-1/12。
至於這個結論是如何產生的，你不用太關心，當我們把級數的定義範圍從必須收斂，延拓到可以不收斂時，就能夠得到上述這個符合邏輯，卻不符合常識的結論。尤拉其實還得到很多荒唐的結論，我列出了幾個：
從這件事我要強調兩點：
尤拉的這種做法符合邏輯。在數學上，一旦設定好了前提，不論透過什麼邏輯得到什麼結果，都是合理的，這是數學和自然科學本質的差別。
我們前面講了，Z（-2）=0，其實Z（-4），Z（-6）都等於零。除此之外，還有什麼情況可以讓Zeta（s）=0呢？黎曼給出了他的想法，說這些讓Zeta函式等於零的複數解，都在複數平面的一條直線上，這就是黎曼猜想。
這個問題的細節大家不必關心，只要記住一個事實就可以了，即黎曼猜想和我們今天尋找大素數，改進加密有關。當然，人們認識到這一點，是在黎曼提出那個看似沒有太多實際意義的猜想近一百年之後的事情。
從這個例子可以看出數學和自然科學的差別。很多看似荒唐的，卻完全符合邏輯的數學結論，並非一點用途沒有，很多時候幾十、幾百年後，我們會發現它們的實際用途。從尤拉看似荒唐地將Zeta函式作延拓，到後來的黎曼猜想，一開始都是單純的數學加邏輯的遊戲，可是我們今天發現它們其實也有用。
這看似荒唐的結論，道出了數學和實驗科學的區別。
當時大家缺乏對數學一些背景知識的瞭解，因此無法講得很透。這回我們學了很多數學的道理，能夠講得比較清楚了。
在上面的問題中，首先涉及到數學上一個被稱為“延拓”的概念。什麼是延拓呢？比如我們過去做減法，2-3的結果就不是自然數了，因此最早人們只能規定，減法必須是大數減去小數，不能反過來。
但是，後來人們就在想，如果我維持減法的邏輯，能否擴充套件一下數的範圍，看看在這樣的邏輯下，得到什麼結果呢？於是人們就拓展出負數，而且根據和大數減小數完全一樣的邏輯，得到了-1這個結果。這就是將減法這種運算延拓到更大的定義空間。
類似的，我們前面講了，將-1的平方根定義為虛數i，也是對開方運算的“延拓”。注意，延拓的要求是計算的邏輯和原來完全相同。你可以簡單地把延拓理解為在想象的世界裡，一次合乎邏輯的認知升級。
上面那個問題，其實也涉及到級數（也就是數列相加）這個運算的延拓。我們在前面講過，一個等比級數，如果比值小於1，它最終的和就是一個有限的數。但是對於下面這個級數，即調和級數：
Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……
無限地加下去，結果等於多少呢？看似它後面的各項越來越小，但是總和並不會收斂到一個有限的數，而是無窮大。以後，人們發現，各種計算級數的方法，能夠使用的前提就是，最終加起來需要是一個有限的數。如果是無窮大，那些方法算出來的結果沒有意義，這就如同要規定被減數必須大於減數一樣。
對於上面這一類調和級數，尤拉發現稍微作一點調整，它就會收斂，比如我們計算：
尤拉發現，它是一個有限的數，恰巧等於圓周率π^2/6。
再接下來，尤拉把這一類的級數再次推廣，讓級數中的每一項可以是任意的s次方。
即整數倒數的s次方之和，這裡面s可以是任何數。這個函式後來被稱為了黎曼Zeta函式（並沒有用尤拉的名字命名），但是它通常的解法卻被稱為了尤拉乘積公式。
尤拉發現只要s大於1，上面這個級數就是收斂的，存在有限的答案。如果s等於1，即前面的調和級數，級數和就是發散的，結果是無窮大。當然，如果s小於1，肯定更是發散的了，因為這時的數值比調和級數要大。於是，按照我們一般的做法，就是為這種Zeta函式畫一個有意義的定義域，即s必須大於1。
但是尤拉作為歷史上有名的大數學家是很有想象力的。尤拉就想了，如果讓s變成了負數，然後還是用s>1的邏輯來計算相應的級數，會是什麼樣的結果呢？
這種想法在我們的現實世界裡是很荒唐的。這就如同大家在小時候如果問老師2-3等於幾，大部分老師都會說，別管它，只能是大數減小數，不能倒過來。
但是，尤拉沒有去管這件事有沒有現實的意義，他只是按照過去的邏輯算了算，就得到一些有趣的結論，比如s＝-1，這個級數其實就是：
Z（-1）= 1+2+3+4+……，即正整數之和，算出來的結果居然是-1/12。
至於這個結論是如何產生的，你不用太關心，當我們把級數的定義範圍從必須收斂，延拓到可以不收斂時，就能夠得到上述這個符合邏輯，卻不符合常識的結論。尤拉其實還得到很多荒唐的結論，我列出了幾個：
從這件事我要強調兩點：
尤拉的這種做法符合邏輯。在數學上，一旦設定好了前提，不論透過什麼邏輯得到什麼結果，都是合理的，這是數學和自然科學本質的差別。
我們前面講了，Z（-2）=0，其實Z（-4），Z（-6）都等於零。除此之外，還有什麼情況可以讓Zeta（s）=0呢？黎曼給出了他的想法，說這些讓Zeta函式等於零的複數解，都在複數平面的一條直線上，這就是黎曼猜想。
這個問題的細節大家不必關心，只要記住一個事實就可以了，即黎曼猜想和我們今天尋找大素數，改進加密有關。當然，人們認識到這一點，是在黎曼提出那個看似沒有太多實際意義的猜想近一百年之後的事情。
從這個例子可以看出數學和自然科學的差別。很多看似荒唐的，卻完全符合邏輯的數學結論，並非一點用途沒有，很多時候幾十、幾百年後，我們會發現它們的實際用途。從尤拉看似荒唐地將Zeta函式作延拓，到後來的黎曼猜想，一開始都是單純的數學加邏輯的遊戲，可是我們今天發現它們其實也有用。