1、f(0)=0，任δ>0，任x∈（-δ，δ），有|f(x)-f(0)|<=|x-0|<δ

任ε>0，存在δ=ε，使得任x∈B0(0,δ），|f(x)-f(0)|<ε

因此f(x)在x=0連續

2、

先證明任b>a，總有有理數q，無理數r屬於（a,b)

取正整數n>1/(b-a)，則總有bn-an>1，即有正整數m滿足an則存在有理數s=m/n∈（a,b)

若b-s為有理數，取r=s+(b-s)/根號2，若b-s為無理數，取r=s+(b-s)/2

則存在無理數r∈（a,b）

下面開始證明：

在任意x=x0處(x0不等於0)

若x0∈Q，則f(x0)=x0

存在ε=|x0|/2，使得任意δ>0，有x滿足x屬於x∈B0(0,δ)且x∈R\Q，

使得|f(x)-f(x0)|=|x0|>ε

若x0∈R\Q，則f(x0)=0

取x1∈(x0-δ，x0),x2∈(x0，x0+δ),且x1,x2∈Q

則max(|f(x1)-f(x0)|,|f(x2)-f(x0)|)>|x0|

即存在ε=|x0|/2，使得任意δ>0，有x滿足x屬於x∈B0(0,δ)且x∈Q，

使得|f(x)-f(x0)|=|x0|>ε

綜上可證得f (x)在非零的x處都不連續