因為-1≤cos（x）≤1

所以tan（-1）≤tan（cos（x））≤tan（1）

因為當x=π/2+2kπ（k∈Z）時，sin（x）有最大值1

所以當tan（1）≥π/2時，sin（tan（cos（x）））的最大值是1

當tan（1）<π/2時，sin（tan（cos（x）））的最大值小於1

用一些方法可以得到tan（1）<π/2，其值為1.5574……

綜上所述，sin（tan（cos（x）））的最大值小於1。

（以上結論均以x∈R為前提）

（當x∈C時，且x≈0±0.088i時，sin（tan（cos（x）））=1）

正弦函式是有界函式，且最大值等於一，要證sinx＜1，只要證明tan（cosX）≠π/2十2kπ即可。令cosX=u，則u值域為[-1，1]，即tanu的定義域為[-1，1]且tanu在[-1，1]匚（-½π，½π）上單增，k=1時，tanu≠（½+2）π，k=-1時，tanu≠-π（½+1），k＝0時，tanu≠½π，由單調性和奇偶性可知，只要證得tanu≠½π即可。其中u∈[-1，1]。tan1≈1.557，½π≈1.5707。若要詳細證明最後兩個等式需要一定的微積分的知識，有興趣的話可以學一下。

sin函式本身是≤1的，所以只要證明這個函式≠1，就能證明它一定＜1。那麼，證明tan(cosX)≠π/2，進而證明cosX不等於arctan(π/2)。提問這個問題的人，別告訴我不知道arctan。那麼arctan(π/2)等於多少，1.00388481……弧度。而cosX怎麼可能＞1呢？所以反推，題中函式是＜1的。注意，題中所算的都是弧度哦！