首先要問，為了什麼目的，需要“分離變數”？

說到“變數”，表明問題所提到的“波函式”一定是有“具體表象”的，沒有任何具體表象的波函式，就是一個“狄拉克符號”（“左向量”或“右向量”），其中可以沒有任何“變數”，也就不存在什麼“分離變數”之說。

提到“含有具體變數的波函式”，首先就要說明，是在“什麼表象”下的波函式？例如，是“薛定諤表象”，還是“海森堡表象”，或者是“相互作用表象”？其實，這樣就涉及到了“系統的動力學方程”。以上的“三種表象”，就是與“量子力學方程”有關。具體可以去看教科書。

這裡可以給出一個具體的“分離變數”的例子。對於“氫原子”體系，外層的一個電子處在質子的“靜電場”的束縛態中。採用“球座標”，可以看到，薛定諤方程只“顯含r”（矢徑），就可以採用“分離變數法”來解“氫原子體系”的薛定諤方程。可以先分離出φ，解出波函式中顯含φ的部分（為e指數），得到“磁量子數”。再分離出θ來，得到顯含θ的部分（為勒讓德函式），得到“角量子數”。最後得到了只含有r的微分方程，它的解是所謂的“拉蓋爾函式”，得到了“徑向量子數”，最後可以得到“主量子數”。那些“量子數”如果不取“整數”，相應的微分方程解都是“無窮大”，而取整數，那些“無窮級數”的解，都被“截斷”成為有限的“多項式”了。所以就自然匯出了“量子化條件”。而這個“氫原子體系的解析解”，與實驗結果是符合的。

所以，“分離變數”的目的，其實就是為了“解體系的動力學方程”，這是“理論物理”的基本方法。

在量子力學中，物體的運動狀態在幾何上可以用一個希爾伯特空間中的向量刻畫，在代數上可以用一個時空函式刻畫。這個關於時間和空間的函式就是波函式，記為ψ(r,t)，該函式按照薛定諤方程給出的規律演化。當薛定諤方程的哈密頓量中的勢能函式不隨時間變化時，就可以對波函式分離變數，即ψ(r,t)=φ(r)f(t)，把波函式寫成空間函式和時間函式的乘積。φ(r)是定態波函式，其滿足定態薛定諤方程式Hφ=Eφ，E就是能量本徵值。而f(t)=exp(-2πiEt/h)相當於位相因子，φ(r)模的平方就是機率密度。