設f(x)=tanx-x-1/3 x^3則f"(x)=1/(cosx)^2 -1-x^2則f"(x)=2sinx/(cosx)^3-2x則f"""(x)=[6-4(cosx)^2]/(cosx)^4-2=(令a=(cosx)^(-2)) 6a^2-4a-2所以a<1時f"""(x)<0，a>1時f"""(x)>0又a=(cosx)^(-2)>1，所以f"""(x)>0所以f""(x)遞增，又f""(0)=0所以f""(x)>0，所以f"(x)遞增又f‘(0)=0，所以f"(x)>0，所以f(x)遞增又f(0)=0，所以f(x)>0即 tanx-x-1/3 x^3>0tanx>x+1/3x^3擴充套件資料：不等式的證明方法（1）比較法：作差比較：.作差比較的步驟：①作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。②變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。③判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。（2）反證法：正難則反。（3）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。（4）換元法：換元的目的就是減少不等式中變數,以使問題化難為易,化繁為簡,常用的換元有三角換元和代數換元。
設f(x)=tanx-x-1/3 x^3則f"(x)=1/(cosx)^2 -1-x^2則f"(x)=2sinx/(cosx)^3-2x則f"""(x)=[6-4(cosx)^2]/(cosx)^4-2=(令a=(cosx)^(-2)) 6a^2-4a-2所以a<1時f"""(x)<0，a>1時f"""(x)>0又a=(cosx)^(-2)>1，所以f"""(x)>0所以f""(x)遞增，又f""(0)=0所以f""(x)>0，所以f"(x)遞增又f‘(0)=0，所以f"(x)>0，所以f(x)遞增又f(0)=0，所以f(x)>0即 tanx-x-1/3 x^3>0tanx>x+1/3x^3擴充套件資料：不等式的證明方法（1）比較法：作差比較：.作差比較的步驟：①作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。②變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。③判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。（2）反證法：正難則反。（3）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。（4）換元法：換元的目的就是減少不等式中變數,以使問題化難為易,化繁為簡,常用的換元有三角換元和代數換元。