假定f是D->R的函式，如果存在實數M使得f(x)<=M對一切x∈D成立，那麼稱f有上界，M是f的一個上界。
類似地，如果存在實數m使得f(x)>=m對一切x∈D成立，那麼稱f有下界，m是f的一個下界。
如果f既有上界又有下界，那麼稱f有界，否則稱f無界。
你先要設法理解定義，搞懂了什麼問題都有希望解決，搞不懂的話記一堆結論也沒用。
回到你的問題，有必要幫你修正一下敘述方式
1.如果f的值域包含於有限區間(a,b)，那麼f有界，b是f的一個上界（不要反過來說上界是b，因為上界一旦存在就有無窮多個）。
2.如果x->A時lim f(x)存在，那麼f在A的區域性有界，也就是說存在A的鄰域(A-t,A+t)以及實數M使得|f(x)|<=M對一切x∈(A-t,A+t)成立。
不要很隨意地說有極限就有界，這樣的表述本就太過含糊，比如(0,1)上的函式f(x)=1/x，x->1/2時是否有極限和x->0的行為沒有任何關係。
3.無界和極限無窮大是兩碼事。無界就是不滿足有界的條件，沒別的意思。
如果x->A時lim f(x)=oo，那麼f在A的附近是無界的。
但是無界的函式未必需要有無窮極限，比如
f(x) = 0，x是無理數
f(x) = q，x=p/q是有理數，且p/q既約，q>0
這個函式無界但是處處沒有無窮極限。
假定f是D->R的函式，如果存在實數M使得f(x)<=M對一切x∈D成立，那麼稱f有上界，M是f的一個上界。
類似地，如果存在實數m使得f(x)>=m對一切x∈D成立，那麼稱f有下界，m是f的一個下界。
如果f既有上界又有下界，那麼稱f有界，否則稱f無界。
你先要設法理解定義，搞懂了什麼問題都有希望解決，搞不懂的話記一堆結論也沒用。
回到你的問題，有必要幫你修正一下敘述方式
1.如果f的值域包含於有限區間(a,b)，那麼f有界，b是f的一個上界（不要反過來說上界是b，因為上界一旦存在就有無窮多個）。
2.如果x->A時lim f(x)存在，那麼f在A的區域性有界，也就是說存在A的鄰域(A-t,A+t)以及實數M使得|f(x)|<=M對一切x∈(A-t,A+t)成立。
不要很隨意地說有極限就有界，這樣的表述本就太過含糊，比如(0,1)上的函式f(x)=1/x，x->1/2時是否有極限和x->0的行為沒有任何關係。
3.無界和極限無窮大是兩碼事。無界就是不滿足有界的條件，沒別的意思。
如果x->A時lim f(x)=oo，那麼f在A的附近是無界的。
但是無界的函式未必需要有無窮極限，比如
f(x) = 0，x是無理數
f(x) = q，x=p/q是有理數，且p/q既約，q>0
這個函式無界但是處處沒有無窮極限。