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  • 1 # hnhhh514

    不請自來。

    我把題主的問題變換一下,如何構造0--90度之間整數度數的正弦函式表。

    以下特殊角的正弦值眾所周知,如18º,30º,45º,60º,等。

    利用兩角和,兩角差,半形等公式,我們可以計算出諸如12º,9º,6º,3º等的正弦值。

    但是,這樣能計算出的最小整數度數為3º。怎麼辦?

    考慮三倍角公式, Sin3θ=3Sinθ-4Sin³θ

    設x=Sin1º,則Sin3º=3x-4x³。這是個一元三次方程,至少有一個實數根,可公式解不記得了,而且很繁瑣。但是沒關係,我們只要數值解,有個好辦法:迭代。具體操作如下,

    設x=Sin10º,則1/2=3x-4x³ 。是的,我想算出的是Sin10º,再計算Sin(10º-9º)。

    移項,得 x=4/3 x³+1/6。取x初值為1/6,以下迭代,使用計算器加減乘除計算得出,過程中保留9位有效數字。

    第1次迭代,

    X①=4/3(1/6)^3+1/6≈0.172839506

    第2次迭代,

    X②≈ 0.173551093

    第3次迭代,

    第4次迭代,

    X④≈ 0.173646766

    我們取4位有效數字,則Sin10º≈0.1736

    有了Sin10º,0--90度之間所有整數度數的正弦值就可以計算出來了。

    ++++++++++++++++++++++++++++++++++

    剛看了一個資料,古希臘的托勒密沒有解三次方程,就算出了間隔為1/2度的正弦表,就是編纂了《至大論》(又稱“天文學大全”)的那位“反動”學術權威。

    簡單介紹一下託老師的思路。

    託老師也是先算到了Sin3º,然後繼續計算Sin1.5º和Sin0.75º,我們知道Sin1º肯定介於這二者之間。另外,對於銳角的正弦值,有以下不等式:

    若0<α<β≤90º,則

    α/β<Sinα/Sinβ。

    ∵ 1º<1.5º

    ∴ Sin1º>Sin1.5º/1.5≈0.017451

    ∵ 0.75º<1º

    ∴ Sin1º<Sin0.75º/0.75≈0.017453

    如果我們要求正弦值保留到小數點後五位,那麼託老師可以負責任地說,Sin1º≈0.01745。

    實際上,托勒密(約公元90--168)構造出了間隔為0.5º的正弦表,計算精度為(1/60)^3=1/216000。

    ++++++++++++++++++++++++++++++++++

    據說,知乎有句名言:離開劑量談毒性,近於耍流氓。那麼,不給出誤差範圍談數值計算,也應該近乎耍流氓了。

    以上。

    Ps

    託老師使用的不等式有個簡單的非初等數學的證明。考察函式f(x)=sinx/x,此函式在(0,90º]區間上為減函式。

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