用容斥原理。

總共有N!種取槍的方法。下面先求至少有一個人取對槍的事件數。

用A(k)表示第k個人取對槍的事件，用X表示所有的事件(|X|=N!)，我們要求

|(A1+A2+...+An)|（這裡＋表示並的意思，真正的並的符號打不出來了）

用A(k1,k2,..., kj)表示k1,k2,...,kj都取對槍的事件（一共j個不同的人）

由容斥原理，

｜A1＋A2＋...+An| = (對所有k求和）|Ak| - (對所有k1, k2求和) |A(k1,k2)| + ...+

(-1)*{j-1}(對所有k1, k2, ..., kj求和)|A(k1,k2,...,kj)| + ... + (-1)^{n-1}|A(1,2,...,n)|

對於A(k1,k2,..., kj)，由於j個人已經取對，乘下(N-j)個人可以任意取，有(N-j)!種取法。又我們是對所有(k1,..., kj)求和，這樣的(k1,..., kj)共有N!/(j!(N-j)!)組，每組對應的A(k1,...,kj)都是(N-j)!，所以上式每一項可以寫為(-1)^{j-1}* N!/j!

所以

|A1+...+An| = N! -N!/2! + N!/3! + ... + (-1)^{N-1}N!/N!，最後這個總數還要除以N!，並且用1去減，所以所有人取錯的機率為

1/2! -1/3! + ... + (-1)^N/N!

此問題又稱“裝錯信封問題”