1、橢圓面積：設橢圓方程為:x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1、F2分別是橢圓的左右焦點,P是橢圓上任意一點,PF1和PF2夾角為θ,在△PF1F2中,根據餘弦定理,F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2}=2c,4c^2=(PF1+PF2)^2-2|PF1||PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ4c^2=4a^2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),|PF1||PF2|=2(a^2-c^2)/(1+cosθ)=2b^2/(1+cosθ),S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ=b^2sinθ/(1+cosθ)=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(cosθ/2)^2]=b^2tan(θ/2).∴S△PF1F2=b^2tan(θ/2).2、雙曲線面積：設雙曲線方程為:x^2/a^2-y^2/b^2=1,F1、F2分別是雙曲線的左右焦點,P是雙曲線上任意一點,PF1和PF2夾角為θ,在△PF1F2中,根據餘弦定理,F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ,||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2}=2c,4c^2=(PF1-PF2)^2+2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ,4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-cosθ)|PF1|*|PF2|(1-cosθ)=2(c^2-a^2)=2b^2,|PF1|*|PF2|=2b^2/(1-cosθ),S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ=b^2sinθ/(1-cosθ)=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(sinθ/2)^2]=b^2*cos(θ/2)/[sin(θ/2)]=b^2cot(θ/2).cosθθθθ