設平行四邊形ABCD，作DE⊥AB於E，CF⊥AB，交AB延長線於F∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形∴ AB//DC，AB=DC，AD=BC∴ DE = CF（平行線間的距離相等）∴ Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)（兩個直角三角形完全相同）∴ AE = BF根據勾股定理AC² = AF²+CF² =（AB+BF）²+ CF²BD² = BE²+DE² =（AB-AE）²+ DE² =（AB-BF）²+CF²AC² + BD² =（AB+BF）² + CF² +（AB-BF）² +CF²= （AB² + 2AB*BF + BF²）+ CF² +（AB² - 2AB*BF + BF²）+ CF²= 2AB² + 2BF² + 2CF²∵ BF² + CF² = BC²（勾股定理）∴ AC² + BD² = 2AB² + 2BC² = AB² + CD² + BC² + AD²擴充套件資料：平行四邊形的性質：（1）夾在兩條平行線間的平行的高相等。（2）如果一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的兩條對角線互相平分。（3）連線任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。（推論）（4）平行四邊形的面積等於底和高的積。（5）過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。（6）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交點。（7）平行四邊形不是軸對稱圖形，但平行四邊形是中心對稱圖形。矩形和菱形是軸對稱圖形。注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形，三者具有平行四邊形的性質。
設平行四邊形ABCD，作DE⊥AB於E，CF⊥AB，交AB延長線於F∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形∴ AB//DC，AB=DC，AD=BC∴ DE = CF（平行線間的距離相等）∴ Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)（兩個直角三角形完全相同）∴ AE = BF根據勾股定理AC² = AF²+CF² =（AB+BF）²+ CF²BD² = BE²+DE² =（AB-AE）²+ DE² =（AB-BF）²+CF²AC² + BD² =（AB+BF）² + CF² +（AB-BF）² +CF²= （AB² + 2AB*BF + BF²）+ CF² +（AB² - 2AB*BF + BF²）+ CF²= 2AB² + 2BF² + 2CF²∵ BF² + CF² = BC²（勾股定理）∴ AC² + BD² = 2AB² + 2BC² = AB² + CD² + BC² + AD²擴充套件資料：平行四邊形的性質：（1）夾在兩條平行線間的平行的高相等。（2）如果一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的兩條對角線互相平分。（3）連線任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。（推論）（4）平行四邊形的面積等於底和高的積。（5）過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。（6）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交點。（7）平行四邊形不是軸對稱圖形，但平行四邊形是中心對稱圖形。矩形和菱形是軸對稱圖形。注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形，三者具有平行四邊形的性質。