我們知道，薛定諤方程是非相對論性的，而K-G方程是相對論性的。但K-G方程存在著兩個困難，一個是負機率困難，另一個是負能量困難。狄拉克於1928年提出了新的相對論性量子力學方程，被後人稱為狄拉克方程。狄拉克方程解決了K-G方程的負機率困難。

相對論下，經典的能量-動量關係式為：E^2=c^2p^2+ m^2c^4

模仿上述形式，則在量子情形下，能量-動量算符關係式為：

\hat{H} = \pm \sqrt{\hat{p}^2+m^2c^4}=\pm \sqrt{\hat{p_x}^2+\hat{p_y}^2 +\hat{p_z}^2 +m^2c^4} (1)

此時算符在根號中，這不是量子力學的標準形式。

因此狄拉克於1928年，提出哈密頓量算符與動量分量的關係應該是線性相關的形式

\hat{H}=\pm c (a_x \hat{p_x} +a_y \hat{p_y} +a_z \hat{p_z} +\beta m c) (2)

其中a_i,\beta為待定係數。

對比（1），（2）式，同時取平方得

\hat{p_x}^2+\hat{p_y}^2+\hat{p_z}^2+m^2c^4= c(a_x\hat{p_x}+a_y\hat{p_y}+a_z\hat{p_z}+\beta mc)\cdot c(a_x\hat{p_x}+a_y\hat{p_y}+a_z\hat{p_z}+\beta mc)

於是待定係數滿足以下關係式（注意算符乘積的先後次序）

a_x^2=a_y^2=a_z^2=\beta^2=1a_xa_y+a_ya_x=0

a_xa_z+a_za_x=0

a_ya_z+a_za_y=0

a_x\beta+\beta a_x=0

a_y \beta+ \beta a_y=0

a_z \beta+ \beta a_z=0

從以上關係式可以看出，四個係數是對稱的。

但上述方程組在實數和複數域內均無非零解。狄拉克認為此時可以將四個係數都看成是4 \times 4的矩陣，可以驗證，以下矩陣可以滿足上述方程組。

a_1= \left( \begin{array}{ccc}

0 & \sigma_x \\

\sigma_x & 0

\end{array}

\right)

a_2= \left( \begin{array}{ccc}

0 & \sigma_y \\

\sigma_y & 0

\end{array}

\right)

a_3= \left( \begin{array}{ccc}

0 & \sigma_z \\

\sigma_z & 0

\end{array}

\right)

\beta= \left( \begin{array}{ccc}

I & 0\\

0 & -I

\end{array} \right)

其中\sigma代表2 \times 2的泡利矩陣。

哈密頓量算符\hat{H}=c a_i \cdot \hat{p_i}+\beta m c^2,i=x,y,z

則自由粒子的狄拉克方程為i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=\hat{H}\psi，形式上與薛定諤方程類似，但哈密頓量算符的具體形式是不同的。

參考資料

【1】《量子力學 卷II》 曾謹言

【2】《狄拉克相對論電子方程的成就與影響》 [J] 張同意 ，商洛師專學報(1996).

【3】《The quantum theory of the electron》 [J] Dirac，Proceedings of the Royal Society of London. Series A(1928).

轉自光能豐

偉大發現都是透過猜和拼得到的。方程有兩個解，正解和負解，迪拉克稱負解是正電子，實驗發現了正電子，最後證明其方程的正確。