絕對值不等式的解法知識結構：1.解絕對值不等式的主要依據解含絕對值的不等式的主要依據為絕對值的定義、絕對值的幾何意義及不等式的性質.2.絕對值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法3.絕對值不等式|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)的解法(1)不等式|ax+b|≤c(c>0)的求解:先化為不等式組-c≤ax+b≤c,再利用不等式的性質求出原不等式的解集.(2)不等式|ax+b|≥c(c>0)的求解:先化為不等式組ax+b≤-c和ax+b≥c,再利用不等式的性質求出原不等式的解集.名師點撥 解含絕對值不等式的核心任務是去絕對值,將不等式恆等變形為不含絕對值的常規不等式,然後利用已經掌握的解題方法求解;注意不可盲目平方去絕對值符號.4.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法解法一:可以利用絕對值的幾何意義.(簡稱幾何法)解法二:利用分類討論的思想,以絕對值的“零點”為分界點,將數軸分成幾個區間,然後確定各個絕對值中的多項式的符號,進而去掉絕對值符號.(簡稱分段討論法)解法三:可以透過建構函式,利用函式影象得到不等式的解集.(簡稱影象法)由上可以看出:解含有絕對值的不等式,關鍵在於利用絕對值的意義設法去掉絕對值符號,把它轉化為一個或幾個普通不等式或不等式組(即不含絕對值符號的不等式)。特別提醒對於絕對值不等式|x-a|-|x-b|≤c和|x-a|-|x-b|≥c,也可採用上述三種方法進行求解.0 1|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法【例1】解下列不等式:(1)|5x-2|≥8;(2)2≤|x-2|≤4.分析(1)直接利用|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法求解;(2)轉化為不等式組求解.由|x-2|≥2,得x-2≤-2或x-2≥2,所以x≤0或x≥4.由|x-2|≤4,得-4≤x-2≤4,所以-2≤x≤6.故原不等式的解集為{x|-2≤x≤0或4≤x≤6}.反思感悟 形如|f(x)|≤a(a>0)和|f(x)|≥a(a>0)型的不等式,均可採用等價轉化法進行求解,即|f(x)|≤a?-a≤f(x)≤a,|f(x)|≥a?f(x)≤-a或f(x)≥a.0 2|x-a|±|x-b|≤c和|x-a|±|x-b|≥c型不等式的解法【例2】解下列不等式:(1)|x+1|+|x-1|≥3;(2)|x-3|-|x+1|<1.分析這類不等式均可採用三種方法:(1)利用絕對值的幾何意義;(2)利用各絕對值的零點分段討論;(3)建構函式,利用函式影象分析求解.(1)(方法一)如圖,設數軸上與-1,1對應的點分別為A,B,那麼點A,B之間的點到A,B兩點的距離和為2,因此區間[-1,1]上的數都不是不等式的解.設在點A左側有一點A1到A,B兩點的距離之和為3,A1對應數軸上的x.同理設點B右側有一點B1到A,B兩點的距離之和為3,B1對應數軸上的x,從數軸上可看到,點A1,B1之間的點到A,B的距離之和都小於3;點A1的左邊或點B1的右邊的任何點到A,B的距離之和都大於3.反思感悟形如|x-a|±|x-b|≤c和|x-a|±|x-b|≥c型的不等式,均可採用三種解法:分割槽間(分類)討論法、影象法和幾何法.分割槽間討論的方法具有普遍性,但較麻煩;幾何法和影象法直觀,但只適用於資料較簡單的情況.所以在具體求解時,應靈活選用求解方法.0 3含引數的絕對值不等式的解法【例3】設函式f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)當a=1時,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值.分析(1)化為|ax+b|≥c型不等式求解;(2)先解不等式f(x)≤0,得出解集後與集合{x|x≤-1}相等,進而得到a的值.解(1)當a=1時,f(x)≥3x+2可化為|x-1|≥2,即x≤-1或x≥3,故不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≤-1或x≥3}.(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0,將此不等式化為不等式組,得反思感悟：解含引數的不等式,一類要對引數進行討論,討論要做到不重不漏;另一類對引數並沒有進行討論,而是去絕對值符號時對變數進行討論,得到兩個不等式組,最後把兩個不等式組的解集進行合併,即得原不等式組的解集.糾錯心得：本題錯誤在於忽視了對引數a的分類討論而導致的,在求解含引數的絕對值不等式時,要注意結合絕對值的性質,對引數進行分類討論,並要做到不重不漏。