費爾馬大定理的命題為：
方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c，n都是非零正整數的情況下，n的值只能是1和2 。
下面給出證明。
n取1的話，a，b，c可以為正整數我們無須證明。
我們現在來考慮n為大於1的正整數的情況。
首先把n取一個大於1的自然數，並且是固定值，讓a和b各自從1開始，到2，再到3，再到4，再到5••••••這樣以正整數逐步增加。
我們可以發現c的值隨著a,b的增加而增加，在c的值還不是正整數之前是一系列正整數的n分之1次方的無理數。
比如n取2的時候，c的值依次是 ：
√2， √5， √8， √13， √18••••• 是一系列正整數的2分之1次方【結果是無理數】。
比如n取3的時候，c的值依次是 ：
2的3分之1次方，
9的3分之1次方，
16的3分之1次方，
35的3分之1次方，
54的3分之1次方
•••••
是一系列正整數的3分之1次方【結果是無理數】。
比如n取4的時候，c的值依次是 ：
2的4分之1次方，
17的4分之1次方，
32的4分之1次方，
97的4分之1次方，
162的4分之1次方
是一系列正整數的4分之1次方【結果是無理數】。
比如n取5的時候，c的值依次是 ：
2的5分之1次方
33的5分之1次方
64的5分之1次方，
275的5分之1次方，
486的5分之1次方
是一系列正整數的5分之1次方【結果是無理數】。
以上c值的增加變化產生了一系列正整數n分之1次方的無理數。
c 的值在逐步變化、增大，假如我們突然發現，c 的值出現了一個正整數。
這個時候我們可以用三根數軸c,a,b來描述c,a,b，讓三根數軸c,a,b處於一個平面內.
我們可以大致判斷一下，這個時候c大於a和b，而小於a+b，c,a,b又都是正整數，所以，數軸c,a,b可以組成一個三角形，【c是最大邊】令α為a軸和c軸之間的夾角，β為b軸和c軸之間的夾角。這樣有：
c = a cosα + b cosβ
三角形abc中，我們讓a和b各自從1開始，到2，再到3，再到4••••••這樣以正整數逐步增加，我們可以發現c的值隨著a,b的值增加而增加。由式 C = a cosα + b cosβ我們可以知道c值變化由以下4種情況組成：
1，以一系列正整數在逐步增加。
2，以一系列分數在逐步增加。
3，以一系列分數的2分之1次方在逐步增加。
4，以一系列正整數的2分之1 次方在逐步增加。
以上4種情況中只有最後一種和前面的論述：
“方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c，n都是非零正整數、n的值取2的情況下。我們讓a和b各自從1開始，到2，再到3，再到4，再到5••••••這樣以正整數逐步增加，我們可以發現c的值隨著a,b的增加而增加，並且是以一系列正整數的2分之1次方【結果為無理數】在增加。”
是相符合的，所以n=2時.方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c都是非零正整數的情況下有可能成立。
令θ 為a和b之間的夾角，以上三角形abc中 的方程c = a cosα + b cosβ 可以寫為
c² = a² + b² - 2abcosθ
以上的角度θ 為90度的話，- 2abcosθ = 0
這樣有方程c² = a² + b² ，所以，方程
“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在n的值是2的情況下，a，b，c可以為非零正整數。
證畢。
還有兩個推論：
1，n大於2的時候，方程沒有有理數解。
2，我們用尺子和圓規在平面上畫不出開n（n為大於2的正整數）次方的無理數。這個也是費爾馬定理對應的物理實質。
費爾馬大定理的命題為：
方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c，n都是非零正整數的情況下，n的值只能是1和2 。
下面給出證明。
n取1的話，a，b，c可以為正整數我們無須證明。
我們現在來考慮n為大於1的正整數的情況。
首先把n取一個大於1的自然數，並且是固定值，讓a和b各自從1開始，到2，再到3，再到4，再到5••••••這樣以正整數逐步增加。
我們可以發現c的值隨著a,b的增加而增加，在c的值還不是正整數之前是一系列正整數的n分之1次方的無理數。
比如n取2的時候，c的值依次是 ：
√2， √5， √8， √13， √18••••• 是一系列正整數的2分之1次方【結果是無理數】。
比如n取3的時候，c的值依次是 ：
2的3分之1次方，
9的3分之1次方，
16的3分之1次方，
35的3分之1次方，
54的3分之1次方
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是一系列正整數的3分之1次方【結果是無理數】。
比如n取4的時候，c的值依次是 ：
2的4分之1次方，
17的4分之1次方，
32的4分之1次方，
97的4分之1次方，
162的4分之1次方
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是一系列正整數的4分之1次方【結果是無理數】。
比如n取5的時候，c的值依次是 ：
2的5分之1次方
33的5分之1次方
64的5分之1次方，
275的5分之1次方，
486的5分之1次方
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是一系列正整數的5分之1次方【結果是無理數】。
以上c值的增加變化產生了一系列正整數n分之1次方的無理數。
c 的值在逐步變化、增大，假如我們突然發現，c 的值出現了一個正整數。
這個時候我們可以用三根數軸c,a,b來描述c,a,b，讓三根數軸c,a,b處於一個平面內.
我們可以大致判斷一下，這個時候c大於a和b，而小於a+b，c,a,b又都是正整數，所以，數軸c,a,b可以組成一個三角形，【c是最大邊】令α為a軸和c軸之間的夾角，β為b軸和c軸之間的夾角。這樣有：
c = a cosα + b cosβ
三角形abc中，我們讓a和b各自從1開始，到2，再到3，再到4••••••這樣以正整數逐步增加，我們可以發現c的值隨著a,b的值增加而增加。由式 C = a cosα + b cosβ我們可以知道c值變化由以下4種情況組成：
1，以一系列正整數在逐步增加。
2，以一系列分數在逐步增加。
3，以一系列分數的2分之1次方在逐步增加。
4，以一系列正整數的2分之1 次方在逐步增加。
以上4種情況中只有最後一種和前面的論述：
“方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c，n都是非零正整數、n的值取2的情況下。我們讓a和b各自從1開始，到2，再到3，再到4，再到5••••••這樣以正整數逐步增加，我們可以發現c的值隨著a,b的增加而增加，並且是以一系列正整數的2分之1次方【結果為無理數】在增加。”
是相符合的，所以n=2時.方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c都是非零正整數的情況下有可能成立。
令θ 為a和b之間的夾角，以上三角形abc中 的方程c = a cosα + b cosβ 可以寫為
c² = a² + b² - 2abcosθ
以上的角度θ 為90度的話，- 2abcosθ = 0
這樣有方程c² = a² + b² ，所以，方程
“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在n的值是2的情況下，a，b，c可以為非零正整數。
證畢。
還有兩個推論：
1，n大於2的時候，方程沒有有理數解。
2，我們用尺子和圓規在平面上畫不出開n（n為大於2的正整數）次方的無理數。這個也是費爾馬定理對應的物理實質。