在數學和抽象代數中，群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上新增新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。中文名群論外文名Group Theory基本概念群的定義設 是一個非空集合， 是它的一個二元運算，如果滿足以下條件：(1) 封閉性：若 ，則存在唯一確定的 使得 ；(2) 結合律成立，即對 中任意元素 都有 ；(3) 單位元存在：存在 ，對任意 ，滿足 。 稱為單位元，也稱么元；(4) 逆元存在：任意 ，存在 ， （ 為單位元），則稱 與 互為逆元素，簡稱逆元。 記作 ；則稱 對 構成一個群。通常稱 上的二元運算 為“乘法”，稱 為 與 的積，並簡寫為 。若群 中元素個數是有限的，則 稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。定義運算對於 ，對於 的子集 ，定義 ，簡寫為 ； ，簡寫為 。對於 的子集 , ，定義 ，簡寫為 。對於 的子集 ，記 。群的替換定理若是群，則對於任一 ， 。子群若 是群， 是 的非空子集並且 也是群，那麼稱 為 的子群。這條定理可以判定 的子集是否為一個子群：且 是 的子群歷史群論是法國數學家伽羅瓦（Galois）的發明。伽羅瓦他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人也對群論作出了貢獻。最先產生的是n個文字的一些置換所構成的置換群，它是在研究當時代數學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時，經由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發展，並有成效地用它徹底解決了這個中心問題。某個數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見有限群）。由於一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn，而當n≥5時Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構、正規子群等重要概念。應當指出，A.-L.柯西早在1815年就發表了有關置換群的第一篇論文，並在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至於置換群的系統知識和伽羅瓦用於方程理論的研究，由於伽羅瓦的原稿是他在決鬥致死前夕趕寫成的，直到後來才在C.若爾當的名著“置換和代數方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發展。置換群是最終產生和形成抽象群的第一個最主要的來源。在數論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類，即f=ax^2+2bxy+cy^2，其中a、b、с為整數，x、y 取整數值，且D=b^2-aс為固定值，對於兩個型的"複合"乘法，構成一個交換群。J.W.R.戴德金於1858年和L.克羅內克於1870年在其代數數論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導致抽象群論產生的第二個主要來源。在若爾當的專著影響下，（C.）F.克萊因於1872年在其著名的埃爾朗根綱領中指出，幾何的分類可以透過無限連續變換群來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函式”的研究中曾用到其他型別的無限群（即離散群或不連續群）。在1870年前後，索菲斯·李開始研究連續變換群即解析變換李群，用來闡明微分方程的解，並將它們分類。這無限變換群的理論成為導致抽象群論產生的第三個主要來源。A.凱萊於1849年、 1854年和 1878年發表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯於1879年和E.內託於1882年以及W.F.A.von迪克於 1882～1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數學家們終於成功地概括出抽象群論的公理系統，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理系統，這些公理系統和現代的定義一致。在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的“有限群論”先後兩版，頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論後，有限群論已然形成。
在數學和抽象代數中，群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上新增新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。中文名群論外文名Group Theory基本概念群的定義設 是一個非空集合， 是它的一個二元運算，如果滿足以下條件：(1) 封閉性：若 ，則存在唯一確定的 使得 ；(2) 結合律成立，即對 中任意元素 都有 ；(3) 單位元存在：存在 ，對任意 ，滿足 。 稱為單位元，也稱么元；(4) 逆元存在：任意 ，存在 ， （ 為單位元），則稱 與 互為逆元素，簡稱逆元。 記作 ；則稱 對 構成一個群。通常稱 上的二元運算 為“乘法”，稱 為 與 的積，並簡寫為 。若群 中元素個數是有限的，則 稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。定義運算對於 ，對於 的子集 ，定義 ，簡寫為 ； ，簡寫為 。對於 的子集 , ，定義 ，簡寫為 。對於 的子集 ，記 。群的替換定理若是群，則對於任一 ， 。子群若 是群， 是 的非空子集並且 也是群，那麼稱 為 的子群。這條定理可以判定 的子集是否為一個子群：且 是 的子群歷史群論是法國數學家伽羅瓦（Galois）的發明。伽羅瓦他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人也對群論作出了貢獻。最先產生的是n個文字的一些置換所構成的置換群，它是在研究當時代數學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時，經由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發展，並有成效地用它徹底解決了這個中心問題。某個數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見有限群）。由於一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn，而當n≥5時Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構、正規子群等重要概念。應當指出，A.-L.柯西早在1815年就發表了有關置換群的第一篇論文，並在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至於置換群的系統知識和伽羅瓦用於方程理論的研究，由於伽羅瓦的原稿是他在決鬥致死前夕趕寫成的，直到後來才在C.若爾當的名著“置換和代數方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發展。置換群是最終產生和形成抽象群的第一個最主要的來源。在數論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類，即f=ax^2+2bxy+cy^2，其中a、b、с為整數，x、y 取整數值，且D=b^2-aс為固定值，對於兩個型的"複合"乘法，構成一個交換群。J.W.R.戴德金於1858年和L.克羅內克於1870年在其代數數論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導致抽象群論產生的第二個主要來源。在若爾當的專著影響下，（C.）F.克萊因於1872年在其著名的埃爾朗根綱領中指出，幾何的分類可以透過無限連續變換群來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函式”的研究中曾用到其他型別的無限群（即離散群或不連續群）。在1870年前後，索菲斯·李開始研究連續變換群即解析變換李群，用來闡明微分方程的解，並將它們分類。這無限變換群的理論成為導致抽象群論產生的第三個主要來源。A.凱萊於1849年、 1854年和 1878年發表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯於1879年和E.內託於1882年以及W.F.A.von迪克於 1882～1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數學家們終於成功地概括出抽象群論的公理系統，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理系統，這些公理系統和現代的定義一致。在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的“有限群論”先後兩版，頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論後，有限群論已然形成。