一·問題簡述：

在數學中，雙曲函式是與冪函式、指數函式、對數函式、三角函式等一樣的一類基本初等函式，它包括雙曲正弦函式sinhx，雙曲餘弦函式coshx，雙曲正切函式tanhx等。

雙曲函式是一類在工程中應用廣泛的函式。雙曲函式的定義域時實數，其自變數的值叫做雙曲角。雙曲函式的反函式稱之為反雙曲函式。

雙曲函式與三角函式的關係，可以透過復指數進行聯絡，藉助複數的三角形式得到，而指數函式與複數的關係則可以透過尤拉公式給出。

儘管雙曲函式不是高中數學學習和研究的物件，但是雙曲函式卻時常成為高考數學的命題背景，許多高考試題都能找到雙曲函式的影子。因此，瞭解雙曲函式的相關性質，對解答相關試題大有裨益。

雙曲函式與三角函式有許多類似的地方，雙曲函式包括雙曲正弦、雙曲餘弦、雙曲正切、雙曲餘切、雙曲正割、雙曲餘割等，下面僅就前三者進行闡述。

1·考查函式的圖象：

【評註】

本題選取雙曲正切函式的倒數，即雙曲餘切函式作為研究物件，藉助函式的圖象，考查雙曲函式的定義域、值域，以及單調性等知識點。

2·考查函式的奇偶性：

【評註】

本題考查函式的奇偶性，藉助函式的奇偶性的相關結論來求引數的值，其中對數函式正是雙曲正弦的反函式。

3·考查導數的綜合應用：

【評註】

本題正是一道全面研究雙曲函式的高考試題，涉及雙曲正弦函式與雙曲餘弦函式，考查函式的解析式、奇偶性、單調性、值域等知識點，有一定的難度。

以上，祝你好運。

函式包括：冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式、雙曲函式、反雙曲函式等。

雙曲函式(也有叫圓函式的)，和三角函式類似。

雙曲函式來於(懸鏈線)，而懸鏈線就是，均勻的繩索兩端固定在同一水平線自然下垂的形狀。最早研究懸鏈線的是世界著名畫家達.芬奇，他在繪製《抱銀貂的女人》時曾研究過女人脖子上項鍊的形狀，遺憾的是他沒有得出答案就去世了。時隔100多年之後，著名的雅各布.伯努利在一篇論文中又提出了這個問題，並且試圖去證明是一條拋物線。事實上，在他之前的 伽利略和吉拉爾都猜測鏈條的曲線是拋物線。

在1689_1690雅各布用了一年的時間研究毫無頭緒。而他的弟弟約翰.伯努利，只用了“一個晚上“的時間解出了正確答案，同一時期的菜布尼也正確的給出了懸鏈線的方程。他們的方法都是利用微積分根據物理規律給出懸鏈線的二次微分方程然後在求解。到了18世紀，約翰.蘭伯特開始研究這個函式，首次將雙曲函式引入三角學，19世紀中後期，奧古斯都.德摩根將圓三角學擴充套件到了雙曲線，威廉克利福德則使用雙曲線角引數化單位雙曲線。到此雙曲線函式在數學應用中誕生了！

雙曲函式與三角函式的關係：

A、函式定義

(a)三角函式的定義。(如圖所示)則 三角函式的值是透過單位圓和角終邊上三角函式線的長度定義的。

(b)雙曲函式的定義(如圖所示)則雙曲函式的值，也是透過雙曲線和角終邊上的雙曲函式線的長度定義的。

B、函式性質

雙曲函式和三角函式的性質十分類似，但又有一定的區別。

C、恆等式

雙曲函式的恆等式和三角函式的恆等式也很相似。D、尤拉公式

尤拉公式是函式的最重要的一個公式：R+V-E=2，是三角函式和指數函式之間的聯絡。

我們透過解析正弦和餘弦函式與指數函式的關係式，和雙曲函式相對比，就不難看出他們之間的關係了。

E、復域統一

雙曲函式和三角函式，似乎各相似卻還是不一樣。其實在復域上它們是一樣的。從圖上可看出同一行的兩個函式除了角度不同外形狀是一樣的。

F、應用範圍

(a)懸鏈線

懸鏈線的方程是雙曲餘弦函式，在懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜等並給應用方帶來很大的方便。

(b)平行直導線單位長度電容

真空中無限長圓柱直導線平行放置，這個用的是反雙函式的計算。

(C)換元積分

(D)邊值問題的解

利用直角座標系中的拉普拉斯方程式：

G、反雙曲線函式

反雙曲線函式是雙曲函式的反函式，反雙曲函式的符號為ar，而反三角函式的符號為arc。