凡含有引數,未知函式和未知函式導數 (或微分) 的方程,稱為微分方程,有時簡稱為方程,未知函式是一元函式的微分方程稱作常微分方程,未知數是多元函式的微分方程稱作偏微分方程.微分方程中出現的未知函式最高階導數的階數,稱為微分方程的階.定義式如下： F(x, y, y¢, ., y(n)) = 0 定義2 任何代入微分方程後使其成為恆等式的函式,都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數的個數與方程的階數相同,且任意常數之間不能合併,則稱此解為該方程的通解(或一般解).當通解中的各任意常數都取特定值時所得到的解,稱為方程的特解. 一般地說,n 階微分方程的解含有 n個任意常數.也就是說,微分方程的解中含有任意常數的個數和方程的階數相同,這種解叫做微分方程的通解.通解構成一個函式族. 如果根據實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來,那麼求這種解的問題叫做定解問題,對於一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解.對於高階微分方程可以引入新的未知函式,把它化為多個一階微分方程組.
常微分方程
常微分方程的概念、解法、和其它理論很多,比如,方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等.下面就方程解的有關幾點簡述一下,以瞭解常微分方程的特點. 求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標,一旦求出通解的表示式,就容易從中得到問題所需要的特解.也可以由通解的表示式,瞭解對某些引數的依賴情況,便於引數取值適宜,使它對應的解具有所需要的效能,還有助於進行關於解的其他研究. 後來的發展表明,能夠求出通解的情況不多,在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解.當然,通解是有助於研究解的屬性的,但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來. 一個常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有幾個呢?這是微分方程論中一個基本的問題,數學家把它歸納成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因為如果沒有解,而我們要去求解,那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的,那又不好確定.因此,存在和唯一性定理對於微分方程的求解是十分重要的. 大部分的常微分方程求不出十分精確的解,而只能得到近似解.當然,這個近似解的精確程度是比較高的.另外還應該指出,用來描述物理過程的微分方程,以及由試驗測定的初始條件也是近似的,這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決.
常微分方程例項
凡含有引數,未知函式和未知函式導數 (或微分) 的方程,稱為微分方程,有時簡稱為方程,未知函式是一元函式的微分方程稱作常微分方程,未知數是多元函式的微分方程稱作偏微分方程.微分方程中出現的未知函式最高階導數的階數,稱為微分方程的階.定義式如下： F(x, y, y¢, ., y(n)) = 0 定義2 任何代入微分方程後使其成為恆等式的函式,都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數的個數與方程的階數相同,且任意常數之間不能合併,則稱此解為該方程的通解(或一般解).當通解中的各任意常數都取特定值時所得到的解,稱為方程的特解. 一般地說,n 階微分方程的解含有 n個任意常數.也就是說,微分方程的解中含有任意常數的個數和方程的階數相同,這種解叫做微分方程的通解.通解構成一個函式族. 如果根據實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來,那麼求這種解的問題叫做定解問題,對於一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解.對於高階微分方程可以引入新的未知函式,把它化為多個一階微分方程組.
常微分方程
常微分方程的概念、解法、和其它理論很多,比如,方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等.下面就方程解的有關幾點簡述一下,以瞭解常微分方程的特點. 求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標,一旦求出通解的表示式,就容易從中得到問題所需要的特解.也可以由通解的表示式,瞭解對某些引數的依賴情況,便於引數取值適宜,使它對應的解具有所需要的效能,還有助於進行關於解的其他研究. 後來的發展表明,能夠求出通解的情況不多,在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解.當然,通解是有助於研究解的屬性的,但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來. 一個常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有幾個呢?這是微分方程論中一個基本的問題,數學家把它歸納成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因為如果沒有解,而我們要去求解,那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的,那又不好確定.因此,存在和唯一性定理對於微分方程的求解是十分重要的. 大部分的常微分方程求不出十分精確的解,而只能得到近似解.當然,這個近似解的精確程度是比較高的.另外還應該指出,用來描述物理過程的微分方程,以及由試驗測定的初始條件也是近似的,這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決.
常微分方程例項