sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB證明如圖我們先來證明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB在標準圓中.AB為直徑.長度為1 由圓的性質可知角ADB和角ACB為90度.另做一條垂直線CE於AD上.令角A為角BAC角B為角DAC則角(A-B)為角BAD證明如下:cos(A-B)=AD/AB=AD
①cosA=AC/AB=AC
②sinA=BC/AB=BC
④sinB=CE/AC聯立①③可知 cosB=AE/cosA 即cosAcosB=AE.所以要證明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要證明AD=AE+sinAsinB 又AD=AE+ED 即只要證明sinAsinB=ED即可即要證明BC*CE/AC=ED即要證明CE/AC=ED/BC注意到三角形CEF相似於三角形BDF(三個角相同),則可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)所以要證明命題.只需要證明CE/AC=EF/CF注意到角ECF+角ECA=90度並且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似於三角形CEF即可以證明CE/AC=EF/CF即證明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB由sinθ=cos(-θ)
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB證明如圖我們先來證明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB在標準圓中.AB為直徑.長度為1 由圓的性質可知角ADB和角ACB為90度.另做一條垂直線CE於AD上.令角A為角BAC角B為角DAC則角(A-B)為角BAD證明如下:cos(A-B)=AD/AB=AD
①cosA=AC/AB=AC
②sinA=BC/AB=BC
④sinB=CE/AC聯立①③可知 cosB=AE/cosA 即cosAcosB=AE.所以要證明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要證明AD=AE+sinAsinB 又AD=AE+ED 即只要證明sinAsinB=ED即可即要證明BC*CE/AC=ED即要證明CE/AC=ED/BC注意到三角形CEF相似於三角形BDF(三個角相同),則可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)所以要證明命題.只需要證明CE/AC=EF/CF注意到角ECF+角ECA=90度並且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似於三角形CEF即可以證明CE/AC=EF/CF即證明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB由sinθ=cos(-θ)