平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角座標系。

一切事物都處在相互關聯和不斷變化的過程之中。平面直角座標系是法國哲學家、數學家笛卡爾，建立的，所以，平面直角座標系又稱為笛卡爾座標系。

直角座標系的建立，就像一座橋樑，把幾何和代數聯絡起來了，有了直角座標系，幾何概念用代數來表示，幾何圖形也可以用代數形式來表示。

舉個例子，我們可以把圓看作是動點到定點距離相等的點的軌跡，如果我們再把點看作是組成幾何圖形的基本元素，把數看作是組成方程的解，於是代數和幾何就這樣被聯絡起來了 。

從此，函式可以透過座標系轉化成圖形，從而直觀的研究。座標系的出現，把作為“數”的函式轉化為了作為“形”的圖象，將數學中以前毫不相干的兩大根基“數”和“形”聯絡了起來。

代數與幾何結合的需要

直角座標又稱為笛卡爾直角座標,笛卡爾是法國的一位數學家,就是他發明了直角座標系.據說他在重病臥床時,他反覆思考一個問題就是數與形怎麼結合在一起,代數方程是抽象的,幾何圖形是直觀的,兩者能不能透過什麼途徑結合在一起呢.當他看到牆上的蜘蛛上下左右的運動,他大受啟發,以牆角作為起點,牆上三條互相垂直的線當作三根數軸,那空間中任意一點的位置都可以用三個數字表示出來.同理對於平面幾何也是如此.

直角座標系的發明,直接將代數與幾何完美的結合在一起了,幾何圖形上的點可以用有序數對錶示出來,一些特殊曲線可以用方程表達出來,很多幾何問題都可轉化為代數問題.

笛卡爾在創立直角座標系的基礎上,創造了用代數方法研究幾何影象的數學分支:解析幾何,他大膽設想,如果把幾何影象看成是動點軌跡,就可以把幾何圖形看成是具有某種共同性質的點組成的.例如我們把圓看作是到定點距離相等的點的軌跡.如果把點看作是組成幾何圖形的基本元素,把數看作是組成方程的解,於是代數與幾何成為一家人了.這就是我們在初中階段學習函式的一些內容,一次函式、反比例函式等,在高中還會學習圓錐曲線相關的內容.幾乎離不開直角座標系.

構建數與形的對應關係，發明數形結合的工具是數形結合的關鍵，而常用的工具就有建立直角座標系，透過利用函式的影象，賦予方程和不等式等特殊的幾何意義，來實現問題的解決。

首先位置與座標的確定離不開直角座標系

我們知道在數軸上確定一個點的位置需要一個數據。例如：

A 點表示 -2，B 點表示 3 ，在平面內,又是如何確定一個點的位置呢?

生活中常常用“排數”和“座數”來確定位置。

像這樣確定平面上的點的方法很多，不管採用哪種方法，平面內確定位置都需要兩個量，有序數對。在直角座標系中，對於平面上的任意一點，都有唯一的一個有序實數對（即點的座標）與它對應；反過來，對於任意一個有序實數對，都有平面上唯一的一點與它對應。

在空間中一個點的位置與座標的確定同樣也離不開直角座標系。

其次透過建立直角座標系，建立數與形的對應關係，進行數與形的相互轉化

例如，如圖，已知函式 y1=3x+b 和 y2=ax﹣3 的圖象交於點 P（﹣2，﹣5），

則不等式 3x+b＞ax﹣3 的解集為 如果用代數的方法去解不等式 3x+b＞ax﹣3 ，還得知道 a , b ，在去解不等式，非常繁瑣。

透過建立直角座標系，確定一次函式的影象後，我們發現 不等式 3x+b＞ax﹣3 就是 y1 > y2

的解集，也就是函式 y1 在函式 y2 的上半部分的影象， 只有當 x > -2 時 ，才能使 y1 > y2 ，

透過觀察影象，很容易求出不等式 3x+b＞ax﹣3 的解集為 x > -2 。

像這樣透過建立直角座標系，“以形解數”的例子非常多 。

關於數與形的關係，數學家華羅庚曾有如下吟唱：

數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯絡莫分離。

構建數與形的對應關係離不開直角座標系，所以說數學離不開直角座標系！

華羅庚（1910.11.12—1985.6.12），漢族，江蘇省常州市金壇市人，世界著名數學家，中國科學院院士，美國國家科學院外籍院士，民盟成員。他是中國解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函式論與多元複變函式論等多方面研究的創始人和開拓者，也是中國在世界上最有影響的數學家之一，被列為芝加哥科學技術博物館中當今世界88位數學偉人之一。