解：設兩個正整數為x,x+1，則有：
x^2+(x+1)^2=1405
2x^2+2x-1404=0
2(x^2+x-702)=0
x^2+x-702=0
(x-26)(x+27)=0
解得：x=26或x= - 27(捨去)
則x+1=27
答：這兩個正整數為26，27.
【解析】本題主要考察一元二次方程，關鍵步驟是一元二次方程因式分解法的應用。
【因式分解法】
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊透過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那麼這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題（數學化歸思想）。
因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項，使方程的右邊化為零；
②將方程的左邊轉化為兩個一元一次方程的乘積；
④括號中x，它們的解就都是原方程的解。
【例】：5x?4x
5x?4x=0
x(5x-4)=0
x=0,或者5x-4=0
∴x1=0，x2=4/5.
解：設兩個正整數為x,x+1，則有：
x^2+(x+1)^2=1405
2x^2+2x-1404=0
2(x^2+x-702)=0
x^2+x-702=0
(x-26)(x+27)=0
解得：x=26或x= - 27(捨去)
則x+1=27
答：這兩個正整數為26，27.
【解析】本題主要考察一元二次方程，關鍵步驟是一元二次方程因式分解法的應用。
【因式分解法】
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊透過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那麼這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題（數學化歸思想）。
因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項，使方程的右邊化為零；
②將方程的左邊轉化為兩個一元一次方程的乘積；
④括號中x，它們的解就都是原方程的解。
【例】：5x?4x
5x?4x=0
x(5x-4)=0
x=0,或者5x-4=0
∴x1=0，x2=4/5.