長方形的面積公式並不是定義，而是根據幾個基本原理的推論。具體如下：
首先全等的圖形面積應該都相等，而長和寬對應相等的長方形是全等的，所以面積是長和寬的函式f(a,b)。這裡我們不限定長和寬的大小關係，也就有f(a,b)=f(b,a)。
其次，面積是恆正的函式，不存在面積為負的情況，邊長不為0時面積不為0。
第三，面積應該具有可加性，兩個圖形拼起來的面積是兩者之和。對於長相等的長方形，將它們對齊長邊，把寬邊拼在一起，可以形成另一個長方形，寬是兩者之和：f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)。
擴充套件資料：
其他方式推導
1、f關於a單調遞增（作差利用恆正性）。
2、 對於任意有理數q，有q f(a,b) = f(qa,b)。
3、f關於a連續（即證明f(a,b)在a趨向於0時右極限為0，首先單調遞減有下界所以極限一定存在，其次用第二條證明f(a,b)可以任意接近於0，因此就是0）。
4、對於任意實數u，有u f(a,b) = f(ua,b)。
5、因此，f(a,b)=af(1,b)。
6、同理，f(a,b) = bf(a,1)，因此f(a,b)=abf(1,1)。
可以看出面積必須是ab的常數倍，為了使用方便可以規定f(1,1)=1，規定是其他的常數也不影響面積的根本性質。因此f(a,b) = ab。
長方形的面積公式並不是定義，而是根據幾個基本原理的推論。具體如下：
首先全等的圖形面積應該都相等，而長和寬對應相等的長方形是全等的，所以面積是長和寬的函式f(a,b)。這裡我們不限定長和寬的大小關係，也就有f(a,b)=f(b,a)。
其次，面積是恆正的函式，不存在面積為負的情況，邊長不為0時面積不為0。
第三，面積應該具有可加性，兩個圖形拼起來的面積是兩者之和。對於長相等的長方形，將它們對齊長邊，把寬邊拼在一起，可以形成另一個長方形，寬是兩者之和：f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)。
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其他方式推導
1、f關於a單調遞增（作差利用恆正性）。
2、 對於任意有理數q，有q f(a,b) = f(qa,b)。
3、f關於a連續（即證明f(a,b)在a趨向於0時右極限為0，首先單調遞減有下界所以極限一定存在，其次用第二條證明f(a,b)可以任意接近於0，因此就是0）。
4、對於任意實數u，有u f(a,b) = f(ua,b)。
5、因此，f(a,b)=af(1,b)。
6、同理，f(a,b) = bf(a,1)，因此f(a,b)=abf(1,1)。
可以看出面積必須是ab的常數倍，為了使用方便可以規定f(1,1)=1，規定是其他的常數也不影響面積的根本性質。因此f(a,b) = ab。