自然數（不含0）是有序集合，從小到大排列：

1,2,3,4,......;

一個數a，就是在自然數集（不含0）中，從1開始往後，挨次數a次，數到的那個數。a可以定義為從1開始連續a個自然行組成的有序集的最後一個數，或者是這個集合的元素個數（集合的基數）。

序數理論定義正整數乘法：a×b：

在自然數集中，從1開始，每次數a個，共數b次，數到的陣列成一個集合，其基數就是a×b的值。

比如2×3：

（1,2),(3,4),(5,6),6個，因此2×3=6；

3×2：

(1,2,3),(4,5,6)也是6個，因此3×2=6；

由此得到2×3=3×2=6，就是乘法交換律。

乘法結合律，就是（a×b）×c=a×（b×c）

前者是每次數a個，共數b次，數到的陣列成的集合，其基數是a×b

然後從1開始，每次數a×b個，共數c次，數到的陣列成的集合，其基數是a×b×c，就是（a×b）×c的結果。這其實就是a×b×c按乘法規則計算的結果。

根據乘法交換律，a×（b×c）=（b×c）×a，

按上面的數法，每次數b個，共數c次，數到的自然數的陣列成的集合，其基數就是b×c，

然後每次數b×c個，共數a次，得到的陣列成的集合，其基數是（b×c）×a。

集合的級數一樣大，我們可以用兩個集合的元素一一對應關係來證明。