反證法： 假設 根號5+三次根號5為有理數。

設 5^(1/6)= x, 則 x^6 =5.

根號5+三次根號5 = x^3+x^2=x^2(x+1)=a1, a1>0 為有理數。（由反證假設）

平方得： x^4(x+1)^2=a1^2， x^6(1+1/x)^2=a1^2

==> (1+1/x)^2=a1^2/5 ===> 1+1/x =a1/5 * 根號5，

x = 1/(a1/5 * 根號5 - 1) = a2 根號5 + b2, 其中 a2,b2 為非0有理數. 此過程只是分母有理化，然後方便地記得到的數為 a2 根號5 + b2

於是 x^2 = (a2 根號5 + b2)^2 = a3 根號5 + b3, 其中 a3,b3 為非0有理數. 此過程只是平方後合併有理數部分，然後方便地記得到的數為 a3 根號5 + b3

於是 x^6 = (x^2)^3=(a3根號5 + b3)^3 = A根號5 + C = 5，

其中

A=5a3^3+3a3b3^2=a3(5a3^2 + 3b3^2) 為非0有理數.

C = 3a3^2 * 5 * b3 + b3^3 為有理數。

於是

根號5 = （5-C）/ A 為有理數。

矛盾！

所以 根號5+三次根號5 是無理數