法1.
利用函式單調性證明
移項即證ln(1+x)-x/(x+1)>0,x>0
令f(x)=ln(1+x)-x/(x+1),x>=0
求導f"(x)=1/(x+1)-[(x+1)-x]/(x+1)^2=x/(x+1)^2>0,(x>0)
知f(x)在x>0上單調遞增，又f(x)可在x=0處連續。
則有f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x/(x+1)>0
亦即1/(x+1)<ln(1+x)/x，x>0命題得證。
法2.
中值定理證明
記f(x)=ln(x+1),g(x)=x,(x>0)且g"(x)≠0，f(0)=g(0)=0
顯然兩函式在[0,x]上滿足柯西中值定理條件
則存在ξ∈(0,x),使得[ln(x+1)]/x=f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f"(ξ)/g"(ξ)=1/(1+ξ)
因為1/(1+ξ)>1/(1+x),其中ξ∈(0,x),
於是得到[ln(x+1)]/x>1/(1+x),x>0命題得證。
法1.
利用函式單調性證明
移項即證ln(1+x)-x/(x+1)>0,x>0
令f(x)=ln(1+x)-x/(x+1),x>=0
求導f"(x)=1/(x+1)-[(x+1)-x]/(x+1)^2=x/(x+1)^2>0,(x>0)
知f(x)在x>0上單調遞增，又f(x)可在x=0處連續。
則有f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x/(x+1)>0
亦即1/(x+1)<ln(1+x)/x，x>0命題得證。
法2.
中值定理證明
記f(x)=ln(x+1),g(x)=x,(x>0)且g"(x)≠0，f(0)=g(0)=0
顯然兩函式在[0,x]上滿足柯西中值定理條件
則存在ξ∈(0,x),使得[ln(x+1)]/x=f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f"(ξ)/g"(ξ)=1/(1+ξ)
因為1/(1+ξ)>1/(1+x),其中ξ∈(0,x),
於是得到[ln(x+1)]/x>1/(1+x),x>0命題得證。