1、
ABCD共圓推出A+C=B+D=180利用圓周角定理容易證明.
反之,四邊形ABCD中A+C=B+D=180,我們要證明ABCD共圓.
過ABC做圓,那麼D點的位置有三種可能：在圓上、在圓內、在圓外.
如果D在圓內,那麼延長AD交圓於E,連結CE.
容易知道,ADC+B>E+B=180,與B+D=180矛盾.
如果D在圓外,那麼AD和CD必然與圓有交點（或切點）,亦容易證明D+B<180,矛盾.
因此D必然在圓上,從而ABCD共圓.
2、
四邊形ABCD有內切圓推出對邊和相等也很容易,切線長定理.
反之,四邊形ABCD中AB+CD=AD+BC,我們證明它有內切圓.
首先,如果ABCD是平行四邊形的話,那麼由已知條件,它必然是菱形,從而有內切圓.
其次,如果ABCD中某兩條對邊不平行,不妨設AB和CD不平行,那麼延長這兩條邊交於E.為了統一,設點的順序為ABE、DCE.
做三角形ADE的內切圓O,圓O與AD切於F,與AB切於G,與CD切於H.我們要證明BC和O相切.
過B做圓O的切線BC"與DE交於C",那麼BC"+AD=AB+CD".
比較AB+CD=AD+CB,我們知道BC-BC"=CD-C"D.
亦即,BC-BC"=CC".
但是,顯然地,BC"+C"C>=BC.
因此,唯一的可能性是BCC"共線.
然而C和C"都在DE上,兩直線BC和DE的交點只能有一個.
所以C和C"重合.
綜上可知,BC確實是圓O的切線,從而四邊形ABCD擁有內切圓O.證畢.
1、
ABCD共圓推出A+C=B+D=180利用圓周角定理容易證明.
反之,四邊形ABCD中A+C=B+D=180,我們要證明ABCD共圓.
過ABC做圓,那麼D點的位置有三種可能：在圓上、在圓內、在圓外.
如果D在圓內,那麼延長AD交圓於E,連結CE.
容易知道,ADC+B>E+B=180,與B+D=180矛盾.
如果D在圓外,那麼AD和CD必然與圓有交點（或切點）,亦容易證明D+B<180,矛盾.
因此D必然在圓上,從而ABCD共圓.
2、
四邊形ABCD有內切圓推出對邊和相等也很容易,切線長定理.
反之,四邊形ABCD中AB+CD=AD+BC,我們證明它有內切圓.
首先,如果ABCD是平行四邊形的話,那麼由已知條件,它必然是菱形,從而有內切圓.
其次,如果ABCD中某兩條對邊不平行,不妨設AB和CD不平行,那麼延長這兩條邊交於E.為了統一,設點的順序為ABE、DCE.
做三角形ADE的內切圓O,圓O與AD切於F,與AB切於G,與CD切於H.我們要證明BC和O相切.
過B做圓O的切線BC"與DE交於C",那麼BC"+AD=AB+CD".
比較AB+CD=AD+CB,我們知道BC-BC"=CD-C"D.
亦即,BC-BC"=CC".
但是,顯然地,BC"+C"C>=BC.
因此,唯一的可能性是BCC"共線.
然而C和C"都在DE上,兩直線BC和DE的交點只能有一個.
所以C和C"重合.
綜上可知,BC確實是圓O的切線,從而四邊形ABCD擁有內切圓O.證畢.