悖論是邏輯學的術語，原本是指那些會導致邏輯矛盾的命題或論述。比如大家熟知的《韓非子?難一》中記載的那位賣矛又賣盾的楚華人，聲稱他的矛鋒利無比，什麼樣的盾都能刺穿，而他的盾堅韌異常，什麼樣的矛都刺不穿，人問：“以子之矛，陷子之盾，何如？”楚人無言以對。這裡關於矛和盾的論述就是一個悖論。悖論這個詞在實際使用中，其涵義已被擴大化，常常包括與人的直覺、經驗或客觀事實相違背的種種問題或論述。因此有時也被稱為“佯謬”、“怪論”等。悖論雖然看似荒誕，但卻在數學哲學史上產生過重要影響。一些著名的悖論曾使高明的哲學家與數學家為之震驚，為之絞盡腦汁，並引發了人們長期艱難而深入的思考。可以說，悖論的研究對促進數學思想的深化發展是立過汗馬功勞的。世界上有記載的最早的悖論，是公元前五世紀希臘哲學家芝諾提出的關於運動的著名悖論。在中國公元前三世紀的《莊子?天下篇》中，也記載了幾條著名的悖論辨題。這些悖論的提出和解決都與數學有關。在數學史上震撼最大的悖論是英國哲學家羅索於1902年提出的“集合論悖論”，它幾乎動搖了整個數學大廈的基礎，引發了所謂的“第三次數學危機”。這些嚴肅的論題在許多數學方法論著作、數學史書籍以及有關的讀物中都有記載和討論。本文只想談點輕鬆的話題。其實，許多數學悖論是饒有趣味的，它不僅可以令你大開眼界，還可以從中享受到無盡的樂趣。面對形形色色富於思考性、趣味性、迷惑性的問題，你必須作一點智力準備，否則可能就會在這悖論迷宮中轉不出來了。看看下面的幾個小故事，你就會相信此話不假。第一個故事發生在一位調查員身上。這位調查員受託去A、B、C三所中學調查學生訂閱《中學生數學》的情況，他很快統計出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對B校和C校的調查也得出同樣的結果。於是他擬寫了一個簡要報道，稱由抽取的三所學校的調查資料看，中學生中男生訂閱《中學生數學》的比例比女生大。後來，他又把三所學校的學生合起來作了一遍統計複核，匪夷所思的事情發生了，這時他得出的統計結果令他大吃一驚，原來訂閱《中學生數學》的所有學生中，女生的比例比男生要大些，怎麼會是這樣呢?這就象在玩一個魔術，少的變多了，多的變少了。你能幫他找找原因嗎?接下來的這個悖論似乎更簡單了。有人把它歸入數學中對策論的研究範疇。一位美國數學家來到一個賭場，隨便叫住兩個賭客，要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法。方法是，兩個人把身上的錢都掏出採，數一數，誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢。賭徒甲想，如果我身上的錢比對方多，我就會輸掉這些錢，但是，如果對方的錢比我多，我就會贏得多於我帶的錢數的錢，所以我贏的肯定要比輸的多。而我倆帶的錢誰多誰少是隨機的，可能性是一半對一半，因此這種賭法對我有利，值得一試。賭徒乙的想法與甲不謀而合。於是兩個人都愉快地接受了這位數學家的建議。看來這真是一種生財有道的賭博。現在的問題是，一場賭博怎麼會對雙方都有利呢?這象不象一場機會均等的猜硬幣正反面的遊戲，輸了只付1元，而贏了則收2元呢?據說這是個一直讓數學家和邏輯學家頭疼的問題。《科學美華人》雜誌社一直在徵求這個問題的答案呢。其實只要認真分析一下，對這個問題也不難給出有說服力的解釋。讓我們再來看一個邏輯學的悖論吧。一位數學教授告訴學生，考試將在下週內某一天進行，具體在星期幾呢?只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的。學生們都有較強的邏輯推理能力，他們想，按教授的說法，不會是星期五考試，因為如果到了星期四還沒有考試，那教授說的“只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的”這句話就是錯的。因此星期五考試可以排除。那就只可能在星期一到星期四考。既然這樣，星期四也不可能考，因為到了星期三還沒有考試的話，就只能是星期四了，這樣的話，也不會是預料不到的。因此星期四考也被排除了。可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試。學生們推出結論後都很高興，教授的話已經匯出矛盾了，輕輕鬆鬆地過吧。結果到了下週的星期二，教授宣佈考試，學生們都愣住了，怎麼嚴格的推理失效了呢?教授確實兌現了自己說的話，誰也沒有能預料到考試的時間。現在請你想一想，學生們的推理究竟錯在哪裡呢?關於運動的悖論有很悠久的歷史，這裡介紹的“螞蟻與橡皮繩悖論”是一道讓你的直覺經受考驗的數學趣題。問題是這樣的：一隻螞蟻沿著一條長100米的橡皮繩以每秒1釐米的勻速由一端向另一端爬行。每過1秒鐘，橡皮繩就拉長100米，比如10秒後，橡皮繩就伸長為1000米了。當然，這個問題是純數學化的，既假定橡皮繩可任意拉長，並且拉伸是均勻的。螞蟻也會不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長時，螞蟻的位置理所當然地相應均勻向前挪動。現在要問，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端?也許你會認為，螞蟻爬行的那點可憐的路程遠遠趕不上橡皮繩成萬倍的不斷拉長，只怕是離終點越來越遠吧!但是千真萬確，螞蟻爬到了終點，奇怪嗎？
悖論是邏輯學的術語，原本是指那些會導致邏輯矛盾的命題或論述。比如大家熟知的《韓非子?難一》中記載的那位賣矛又賣盾的楚華人，聲稱他的矛鋒利無比，什麼樣的盾都能刺穿，而他的盾堅韌異常，什麼樣的矛都刺不穿，人問：“以子之矛，陷子之盾，何如？”楚人無言以對。這裡關於矛和盾的論述就是一個悖論。悖論這個詞在實際使用中，其涵義已被擴大化，常常包括與人的直覺、經驗或客觀事實相違背的種種問題或論述。因此有時也被稱為“佯謬”、“怪論”等。悖論雖然看似荒誕，但卻在數學哲學史上產生過重要影響。一些著名的悖論曾使高明的哲學家與數學家為之震驚，為之絞盡腦汁，並引發了人們長期艱難而深入的思考。可以說，悖論的研究對促進數學思想的深化發展是立過汗馬功勞的。世界上有記載的最早的悖論，是公元前五世紀希臘哲學家芝諾提出的關於運動的著名悖論。在中國公元前三世紀的《莊子?天下篇》中，也記載了幾條著名的悖論辨題。這些悖論的提出和解決都與數學有關。在數學史上震撼最大的悖論是英國哲學家羅索於1902年提出的“集合論悖論”，它幾乎動搖了整個數學大廈的基礎，引發了所謂的“第三次數學危機”。這些嚴肅的論題在許多數學方法論著作、數學史書籍以及有關的讀物中都有記載和討論。本文只想談點輕鬆的話題。其實，許多數學悖論是饒有趣味的，它不僅可以令你大開眼界，還可以從中享受到無盡的樂趣。面對形形色色富於思考性、趣味性、迷惑性的問題，你必須作一點智力準備，否則可能就會在這悖論迷宮中轉不出來了。看看下面的幾個小故事，你就會相信此話不假。第一個故事發生在一位調查員身上。這位調查員受託去A、B、C三所中學調查學生訂閱《中學生數學》的情況，他很快統計出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對B校和C校的調查也得出同樣的結果。於是他擬寫了一個簡要報道，稱由抽取的三所學校的調查資料看，中學生中男生訂閱《中學生數學》的比例比女生大。後來，他又把三所學校的學生合起來作了一遍統計複核，匪夷所思的事情發生了，這時他得出的統計結果令他大吃一驚，原來訂閱《中學生數學》的所有學生中，女生的比例比男生要大些，怎麼會是這樣呢?這就象在玩一個魔術，少的變多了，多的變少了。你能幫他找找原因嗎?接下來的這個悖論似乎更簡單了。有人把它歸入數學中對策論的研究範疇。一位美國數學家來到一個賭場，隨便叫住兩個賭客，要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法。方法是，兩個人把身上的錢都掏出採，數一數，誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢。賭徒甲想，如果我身上的錢比對方多，我就會輸掉這些錢，但是，如果對方的錢比我多，我就會贏得多於我帶的錢數的錢，所以我贏的肯定要比輸的多。而我倆帶的錢誰多誰少是隨機的，可能性是一半對一半，因此這種賭法對我有利，值得一試。賭徒乙的想法與甲不謀而合。於是兩個人都愉快地接受了這位數學家的建議。看來這真是一種生財有道的賭博。現在的問題是，一場賭博怎麼會對雙方都有利呢?這象不象一場機會均等的猜硬幣正反面的遊戲，輸了只付1元，而贏了則收2元呢?據說這是個一直讓數學家和邏輯學家頭疼的問題。《科學美華人》雜誌社一直在徵求這個問題的答案呢。其實只要認真分析一下，對這個問題也不難給出有說服力的解釋。讓我們再來看一個邏輯學的悖論吧。一位數學教授告訴學生，考試將在下週內某一天進行，具體在星期幾呢?只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的。學生們都有較強的邏輯推理能力，他們想，按教授的說法，不會是星期五考試，因為如果到了星期四還沒有考試，那教授說的“只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的”這句話就是錯的。因此星期五考試可以排除。那就只可能在星期一到星期四考。既然這樣，星期四也不可能考，因為到了星期三還沒有考試的話，就只能是星期四了，這樣的話，也不會是預料不到的。因此星期四考也被排除了。可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試。學生們推出結論後都很高興，教授的話已經匯出矛盾了，輕輕鬆鬆地過吧。結果到了下週的星期二，教授宣佈考試，學生們都愣住了，怎麼嚴格的推理失效了呢?教授確實兌現了自己說的話，誰也沒有能預料到考試的時間。現在請你想一想，學生們的推理究竟錯在哪裡呢?關於運動的悖論有很悠久的歷史，這裡介紹的“螞蟻與橡皮繩悖論”是一道讓你的直覺經受考驗的數學趣題。問題是這樣的：一隻螞蟻沿著一條長100米的橡皮繩以每秒1釐米的勻速由一端向另一端爬行。每過1秒鐘，橡皮繩就拉長100米，比如10秒後，橡皮繩就伸長為1000米了。當然，這個問題是純數學化的，既假定橡皮繩可任意拉長，並且拉伸是均勻的。螞蟻也會不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長時，螞蟻的位置理所當然地相應均勻向前挪動。現在要問，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端?也許你會認為，螞蟻爬行的那點可憐的路程遠遠趕不上橡皮繩成萬倍的不斷拉長，只怕是離終點越來越遠吧!但是千真萬確，螞蟻爬到了終點，奇怪嗎？