全純函式
全純函式(Holomorphic functions)是複分析研究的中心物件。
基本資訊
相關術語
亞純函式
歸類
數學函式
目錄
概述：
全純函式(Holomorphic functions)是複分析研究的中心物件；它們是定義在複平面C的開子集上的，在C中取值的函式，在每點復可微。這是比實可微強得多的條件，它表示函式無窮可微並可以用它的泰勒級數描述。解析函式(analytic function)一詞經常可以和"全純函式"互相交換使用，雖然前者有幾個其他含義。一個在整個複平面上全純的函式稱為整函式(entire function)。"在一點a全純"不僅表示在a可微,而且表示在某個中心為a的複平面的開鄰域可微。雙全純(Biholomorphic)表示一個有全純逆函式的。
定義
若U為C的開子集而f : U → C是一個函式，我們稱f是在U中一點z0復可微(complex differentiable)，若極限
<math>f"(z_0) = \lim_{z \RightArrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } </math>
存在。
極限取所有趨向z0的複數的序列，並對所有這種序列差的商趨向同一個數f "(z0). 直觀上，如果f在z0復可微而我們從r方向趨向點z0，則函式的像會從f "(z0) r方向趨近點f(z0)，其中的乘積是複數乘法。
這個可微性的概念和實可微性有幾個相同性質: 它是線性的，並服從乘積，商和鏈式法則。
若f在U中每點z0復可微，我們稱f"在U上全純。我們稱f在點z0全純，如果它在z0的某個鄰域全純。
下面是一個等價的定義。一個復全純當且僅當它滿足柯西-黎曼方程.
例子
z的所有復係數的多項式函式在C上是全純的.
所有z的三角函式和所有指數函式也是. (事實上和指數函式密切相關並可以透過尤拉公式來用指數函式定義).
對數函式的主支在集合C - {z ∈ R : z ≤ 0}上全純. 平方根函式可以定義為
<math>\sqrt = e^{\frac\ln z}</math>
所以任何對數ln(z)全純的地方,它也全純.函式1/z在{z : z ≠ 0}上全純.
不是全純的函式的典型例子有複共軛(complex conjugation)和取實部.
性質
因為復微分是線性的，並且服從積、商、鏈式
全純函式
全純函式(Holomorphic functions)是複分析研究的中心物件。
基本資訊
相關術語
亞純函式
歸類
數學函式
目錄
概述：
全純函式(Holomorphic functions)是複分析研究的中心物件；它們是定義在複平面C的開子集上的，在C中取值的函式，在每點復可微。這是比實可微強得多的條件，它表示函式無窮可微並可以用它的泰勒級數描述。解析函式(analytic function)一詞經常可以和"全純函式"互相交換使用，雖然前者有幾個其他含義。一個在整個複平面上全純的函式稱為整函式(entire function)。"在一點a全純"不僅表示在a可微,而且表示在某個中心為a的複平面的開鄰域可微。雙全純(Biholomorphic)表示一個有全純逆函式的。
定義
若U為C的開子集而f : U → C是一個函式，我們稱f是在U中一點z0復可微(complex differentiable)，若極限
<math>f"(z_0) = \lim_{z \RightArrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } </math>
存在。
極限取所有趨向z0的複數的序列，並對所有這種序列差的商趨向同一個數f "(z0). 直觀上，如果f在z0復可微而我們從r方向趨向點z0，則函式的像會從f "(z0) r方向趨近點f(z0)，其中的乘積是複數乘法。
這個可微性的概念和實可微性有幾個相同性質: 它是線性的，並服從乘積，商和鏈式法則。
若f在U中每點z0復可微，我們稱f"在U上全純。我們稱f在點z0全純，如果它在z0的某個鄰域全純。
下面是一個等價的定義。一個復全純當且僅當它滿足柯西-黎曼方程.
例子
z的所有復係數的多項式函式在C上是全純的.
所有z的三角函式和所有指數函式也是. (事實上和指數函式密切相關並可以透過尤拉公式來用指數函式定義).
對數函式的主支在集合C - {z ∈ R : z ≤ 0}上全純. 平方根函式可以定義為
<math>\sqrt = e^{\frac\ln z}</math>
所以任何對數ln(z)全純的地方,它也全純.函式1/z在{z : z ≠ 0}上全純.
不是全純的函式的典型例子有複共軛(complex conjugation)和取實部.
性質
因為復微分是線性的，並且服從積、商、鏈式