我這裡有個最通俗有趣和直觀的方法，是用三角形來證明的。如果根號3是無理數，則不存在互質的整數p和q，使得；那麼我們用反證法，假設存在這樣的p和q滿足，也就是；以p和q為邊長，作兩個等邊三角形：等邊三角形的面積和邊長的平方成正比，根據可知，白色三角形的面積是灰色三角形的3倍。我們把3個灰色三角形分別塞進白色三角形的三個角里，見下圖：灰色三角形重疊出了3個深灰色的小三角形，同時中間留了塊白色的空隙；這個圖形十分直觀，一看就明白：因為3個灰色三角形的面積之和等於大三角形的面積，所以重疊部分的面積一定等於留空部分的面積。所以說，白色小三角形的面積，等於3個深灰色小三角形的面積之和，也就是單個深灰色小三角形面積的3倍。設白色小三角形的邊長是n、深灰色小三角形的邊長是s，則有，也就是。記住上面的結論，然後看看n和s到底是多少：看大三角形的任意一條邊就能算出，；再看灰色三角形內側，可知，代入一下即得。因為p和q都是整數，所以n和s當然也是整數。好了，最開始我們假設存在且p和q互質，現在又找到一對n和s也滿足，且n小於p、s小於q，說明必然是約分後的結果，與p和q互質的假設相矛盾。所以根號3是無理數。擴充套件小思考：為什麼三個灰色三角形塞進大三角形之後一定會有重疊和中間的空隙？為什麼不是下面這兩種情況？答：如果要像左圖那樣不重疊，則，與矛盾；如果要像右圖那樣不留空隙，則，也與矛盾。