證明:海倫公式:若ΔABC的三邊長為a.b.c.則

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

證明:設邊c上的高為 h.則有

√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c

√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)

兩邊平方.化簡得:

2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2

兩邊平方.化簡得:

h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))

SΔABC=ch/2

=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2

仔細化簡一下.得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

用三角函式證明!

證明:

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)＾2)/2----(1)

∵cosC=(a＾2+b＾2-c＾2)/(2ab)

∴代入(1)式.(仔細)化簡得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4