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    定義2. 1 設函式zf(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義當y固定在y0 而x在x0處有增量x時相應地函式有增量 f(x0x,y0)f(x0,y0) 

    如果

    )處對x的偏導數記為

    同理可定義函式zf(x,y)在點(x0,y0)處對y的偏導數為

    .

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    高等數學下冊講稿 第四章 數學分析教研室

    如果函式zf(x,y)在區域D內任一點(x,y)處對x的偏導數都存在那麼這個偏導數就是x、 y的函式它就稱為函式zf(x,y)對自變數x的偏導函式簡稱偏導數記作

    .

    同理可以定義函式zf(x,y)對自變數y的偏導數記作

    .

    偏導數的概念可以推廣到二元以上函式

    如uf(x,y,z)在(x,y,z)處

    2、計算

    從偏導數的定義可以看出計算多元函式的偏導數並不需要新的方法若對某一個自變數求導 只需將其他自變數常數 用一元函式微分法即可。 於是一元函式的求導公式和求導法則都可以移植到多元函式的偏導數的計算上來。

    例1求zx23xyy2在點(1,2)處的偏導數

    解法一

    .

    解法二 z

    z x113yy

    這裡我們要知道有時 “先求偏導函式再代值求某點的偏導數”不一定簡便。如下例

    例2 f(x,y,z)x

    .

    解:

    .

    例3 已知理想氣體的狀態方程pVRT R為常數求證 pVTVpT1 .2

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    高等數學下冊講稿 第四章 數學分析教研室

    證明 p

    ;

    .

    有關偏導數的幾點說明

    1、 偏導數

    是一個整體記號不能拆分;

    2、求分界點、不連續點處的偏導數要用定義求

    例如,zf(x,y) xy,求

    .

    解

    .

    例4設f(x,y)

    )的偏導數。

    解當(x

    當(x,y)(0,0)時,按定義可知

    ,

    ,

    .

     、偏導數存在與連續的關係

    一元函式中在某點可導 函式在該點一定連續但多元函式中在某點偏導數存在 函式未必連續.

    例如

    )處fx(0,0)fy(0,0)0.但函式在該點處並不連續.

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    高等數學下冊講稿 第四章 數學分析教研室

    4、偏導數的幾何意義

    設M0(x 0,y 0,f(x 0,y 0)) 是曲面zf(x,y)上一點則

    偏導數fx(x0,y0)就是曲面被平面yy0所截得的曲線在點M 0處的切線M0 Tx對x軸的斜率偏導數fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0所截得的曲線在點M0處的切線M0Ty對y軸的斜率.

    二、高階偏導數

    設函式zf(x,y)在區域D內的兩個偏導數fx(x,y) 、 fy(x,y)的偏導數也存在則稱它們是函式zf(x,y)的二階偏導數。記作

    )

    )

    定義二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.

    例5設z

    .

    解

    .

    例6設ueax cosby求二階偏導數.

    解

    問題混合偏導數都相等嗎

    例7設f(x,y)

    .

    解當(x,y)(0,0)時,

    4

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    高等數學下冊講稿 第四章 數學分析教研室

    ,

    當(x,y)(0,0)時按定義可知

    ,

    ,

    顯然fxy(0,0)fyx(0,0).

    問題具備怎樣的條件才能使混合偏導數相等

    定理2. 1 如果函式zf(x,y)的兩個二階混合偏導數

    內連續那末在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等

    例8驗證函式u(x

    .

    證明 ln x

    ,

    證畢.

    內容小結:

    1.偏導數的定義偏增量比的極限

    2.偏導數的計算、偏導數的幾何意義

    3.高階偏導數純偏導混合偏導及其相等的條件.

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