設：過這兩點的一次函式為y=kx+b∵過這兩點∴5=3k+b 3=2k+b（就是把這兩點的座標代進去，x換為橫座標的值，y同理）解該二元一次方程組，得：k=2b=-1∴y=2x-1設二次函式為y=ax^2+bx+c 代入A（4,0）B(1,0)C（0，-2） 得a=-1/2,b=5/2 則y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2 (2) 假設存在,設P(x,y)則: 當P在對稱軸左側時,即(1<x≤5/2)時,有: OC:OA=PM:AM 即2:4=y:(4-x) y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2 則[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=1/2 得x=2或x=4(舍) 此時P點座標為P(2,1) 當P在對稱軸右側時,即(5/2≤x<4)時,有: OC:OA=(4-x):y y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2 則[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=2 得x=4(舍)或x=5(舍) 即只存在一點P(2,1)使△PMA與△OAC相似 (3) △DCA的底AC固定,即高h在變. 高即點D到AC的距離 設點D(x,y) AC直線易求:y=(1/2)x-2 即x-2y-4=0 點到直線距離: |x-2y-4|/√(1^2+2^2) =|x-2[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]-4|/√(1^2+2^2) =|x^2-4x|/√5 由題知x的範圍是0≤x≤4 則|x^2-4x|/√5的最大值在x=2時取得 即此時D(2,1)為所求點.
設：過這兩點的一次函式為y=kx+b∵過這兩點∴5=3k+b 3=2k+b（就是把這兩點的座標代進去，x換為橫座標的值，y同理）解該二元一次方程組，得：k=2b=-1∴y=2x-1設二次函式為y=ax^2+bx+c 代入A（4,0）B(1,0)C（0，-2） 得a=-1/2,b=5/2 則y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2 (2) 假設存在,設P(x,y)則: 當P在對稱軸左側時,即(1<x≤5/2)時,有: OC:OA=PM:AM 即2:4=y:(4-x) y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2 則[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=1/2 得x=2或x=4(舍) 此時P點座標為P(2,1) 當P在對稱軸右側時,即(5/2≤x<4)時,有: OC:OA=(4-x):y y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2 則[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=2 得x=4(舍)或x=5(舍) 即只存在一點P(2,1)使△PMA與△OAC相似 (3) △DCA的底AC固定,即高h在變. 高即點D到AC的距離 設點D(x,y) AC直線易求:y=(1/2)x-2 即x-2y-4=0 點到直線距離: |x-2y-4|/√(1^2+2^2) =|x-2[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]-4|/√(1^2+2^2) =|x^2-4x|/√5 由題知x的範圍是0≤x≤4 則|x^2-4x|/√5的最大值在x=2時取得 即此時D(2,1)為所求點.