解：①當a=9/2時，g(x)=lnx+9/(2(x+1))-k,

g"(x)=1/x-9/(2(x+1)^2)=[(x-5/4)^2-9/16]/[x(x+1)^2],有g(x)定義域知x>0;

所以，當0<x<1/2或x>2時g"(x)>0,1/2<x<2時g"(x)<0;

g(x)在x=1/2處取得極大值3-ln2-k,在x=2處取得極小值3/2+ln2-k;

當3-ln2-k<0或3/2+ln2-k>0時g(x)僅有一個零點，即k>3-ln2或k<3/2+ln2

②當a=2時，f"(x)=(x^2+1)/[x(x+1)^2]>0，f(x)在（0,+無窮）上單調遞增

又當x=1時f(x)=1,所以當0<x<1時f(x)<1,當x>1時f(x)>1

所以當x>0時有ln(x+1)>x/(x+2) ..................................................................式（1）

以下用數學歸納法來證明結論：

1.當n=1時，ln(2)>1/3成立

2.假設n=k時不等式成立即ln(k+1)>1/3+1/5+......1/(2k+1)

當n=k+1時，根據式（1）有：

ln(k+2)-ln(k+1)=ln[(k+2)/(k+1)]=ln(1/(k+1)+1)>(1/(k+1))/(1/(k+1)+2)=1/(2(k+1)+1)

所以ln(k+2)>ln(k+1)+1/(2(k+1)+1)=1/3+1/5+......1/(2k+1)+1/(2(k+1)+1)

即n=k+1時不等式也成立

由1、2知ln(n+1)>1/3+1/5+......1/(2n+1) n屬於正整數

給分啊，辛辛苦苦打了這麼多