證明：因為3^n＜1+2^n+3^n＜3*3^n=3^(n+1)，那麼(3^n)^(1/n)＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜(3^(n+1))^(1/n)，即3＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3^((n+1)/n)。又因為lim(x→∞)3^((n+1)/n)=3^1=3。即當n→∞時，3＜lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3那麼根據夾逼定理可得，lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)=3。擴充套件資料：夾逼定理的應用1、設{Xn}，{Zn}為收斂數列，且：當n趨於無窮大時，數列{Xn}，{Zn}的極限均為：a。若存在N，使得當n>N時，都有Xn≤Yn≤Zn,則數列{Yn}收斂，且極限為a。2、夾逼準則適用於求解無法直接用極限運演算法則求極限的函式極限，間接透過求得F(x)和G(x)的極限來確定f(x)的極限。不等式的證明方法1、綜合法由因導果。證明不等式時，從已知的不等式及題設條件出發，運用不等式性質及適當變形推匯出要證明的不等式. 合法又叫順推證法或因導果法。2、分析法執果索因。證明不等式時，從待證命題出發，尋找使其成立的充分條件. 由於”分析法“證題書寫不是太方便，所以有時我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然後用”綜合法“進行表述。3、放縮法將不等式一側適當的放大或縮小以達到證題目的，已知A<C，要證A<B，則只要證C<B. 若C<B成立，即證得A<B. 也可採用把B縮小的方法，若已知C<B，則只要證A<C。