f(x)=lnx-ax²+ax 定義域x>0f"(x)=1/x-2ax+a=(-2ax²+ax+1)/x當分子Δ=a²+8a≤0→-8≤a≤0時，分子恆≥0 f(x)單調遞增,最多一個零點當a<-8 駐點x₁=[1-√(1+8/a)]/4 0<x₁<1/4 x₂=[1+√(1+8/a)]/4 1/4<x₂<1/2f""(x)=-1/x²-2af"""(x)=2/x³>0 ∴f""(x)單調遞增∴f""(x₂)>f""(¼)=-16-2a≥0∴x₂是極小值點 x₁是極大值點∵極小值點x₂<1 ∴極小值<f(1)=0∵x>lnx x>0∴f(x)<x-ax²+ax=g(x)g(x) ,拋物線開口向上，對稱軸x=1/2+1/2a>1/4∴x₂在對稱軸的左側，g(x)單調遞減 g(x₂)<g(0)=0∴極大值f(x₂)<g(x₂)<0 , f(x)只有一個零點。a>0時駐點x₁=[1+√(1+8/a)]/4 （[1-√(1+8/a)]/4 <0 不在定義域內）f""(x)=-1/x²-2af""(x₁)=-16/[1+√(1+8/a)]²-2a<0∴x₁為極大值點，且為最大值點∴f(x₁)≥f(1)=0∴只要x₁≠1即a≠1時 f(x₁)>0恆成立∵x→0+及x→+∞是，f(x)均→-∞，由連續函式零點定理，f(x)必有兩個零點∴a的取值範圍為a∈(0,1)∪(1,+∞)
f(x)=lnx-ax²+ax 定義域x>0f"(x)=1/x-2ax+a=(-2ax²+ax+1)/x當分子Δ=a²+8a≤0→-8≤a≤0時，分子恆≥0 f(x)單調遞增,最多一個零點當a<-8 駐點x₁=[1-√(1+8/a)]/4 0<x₁<1/4 x₂=[1+√(1+8/a)]/4 1/4<x₂<1/2f""(x)=-1/x²-2af"""(x)=2/x³>0 ∴f""(x)單調遞增∴f""(x₂)>f""(¼)=-16-2a≥0∴x₂是極小值點 x₁是極大值點∵極小值點x₂<1 ∴極小值<f(1)=0∵x>lnx x>0∴f(x)<x-ax²+ax=g(x)g(x) ,拋物線開口向上，對稱軸x=1/2+1/2a>1/4∴x₂在對稱軸的左側，g(x)單調遞減 g(x₂)<g(0)=0∴極大值f(x₂)<g(x₂)<0 , f(x)只有一個零點。a>0時駐點x₁=[1+√(1+8/a)]/4 （[1-√(1+8/a)]/4 <0 不在定義域內）f""(x)=-1/x²-2af""(x₁)=-16/[1+√(1+8/a)]²-2a<0∴x₁為極大值點，且為最大值點∴f(x₁)≥f(1)=0∴只要x₁≠1即a≠1時 f(x₁)>0恆成立∵x→0+及x→+∞是，f(x)均→-∞，由連續函式零點定理，f(x)必有兩個零點∴a的取值範圍為a∈(0,1)∪(1,+∞)