設f(x)=sin2x+sin(πx)

設週期是T>0

sin(2x)+sin(πx)=f(x)=f(x+T)=sin(2x+2T)+sin(πx+πT)

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

所以

sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB

sin(2x)+sin(πx)=f(x)=f(x+T)=sin(2x+2T)+sin(πx+πT)

所以

h(x)=sin(2x+2T)+sin(πx+πT)-sin(2x)-sin(πx)

對任何x橫為0

所以h(x)"橫為0 且h(0)=0

h(x)"=2cos(2x+2T)+πcos(πx+πT)-2cos(2x)-πcos(πx)

所以h(x)""橫為0 且h"(0)=0

h(x)""=-(2²)sin(2x+2T)-[π²]sin(πx+πT)+(2²)sin(2x)+[π²]cos(πx)

...

可以不斷求導數

所以設

sin(2x+2T)=A

sin(πx+πT)=B

sin(2x)=C

sin(πx)=D

2^4=p

(π)^4=q

A+B=C+D

pA+qB=pC+qD

ppA+qqB=ppC+qqD

........

這隻有4個未知數，而方程有無窮個

所以只能A=C, B=D

sin(2x+2T)=sin(2x)

sin(πx+πT)=sin(πx)

對任意x上兩式子同時成立

所以2T是2kπ形式的

πT也是2mπ形式的

後者要求T是偶數，前者要求T是整數與π的乘積

所以T只能是0

矛盾

所以不是週期函式