首先，先證明:當0<x<π/2時，有:sinx<x<tanx(不能用求導去證明，否則就變成迴圈論證因為sinx的求導公式中運用到這一個極限)在直角座標系中作一單位圓(以原點O為圓心，1為半徑的圓)，交x正半軸於點A作圓在A點上的切線AB，其中B點在第一象限。連線OB，交圓於點P過P作平行於y軸的直線，交x軸於Q。連結AP(請自己畫圖)設∠POA=x(弧度)，那麼OA=OP=1PQ=OP*sinx=sinx,AB=OA*tanx=tanx由圖可知:△OPQ的面積<扇形OPA的面積<△OAB的面積△OPQ的面積=1/2*PQ*OA=1/2*sinx扇形OPA的面積=1/2*x*1^2=1/2*x△OAB的面積=1/2*AB*OA=1/2*tanx代入剛剛的面積大小關係就得:sinx<x<tanx(0<x<π/2)以下運用夾逼準則證明右極限等於1上式各項取倒數，得:1/tanx<1/x<1/sinx各項乘以sinx,得:cosx<(sinx)/x<1當x趨向0式，上面不等式中，cosx趨向1而最右面也是1，由夾逼準則便有limsinx/x=1(x趨向0(+))因為sinx/x是偶函式，圖象關於y軸對稱所以limsinx/x=1(x趨向0(-))左右極限相等，都等於1所以:limsinx/x=1(x趨向0)
首先，先證明:當0<x<π/2時，有:sinx<x<tanx(不能用求導去證明，否則就變成迴圈論證因為sinx的求導公式中運用到這一個極限)在直角座標系中作一單位圓(以原點O為圓心，1為半徑的圓)，交x正半軸於點A作圓在A點上的切線AB，其中B點在第一象限。連線OB，交圓於點P過P作平行於y軸的直線，交x軸於Q。連結AP(請自己畫圖)設∠POA=x(弧度)，那麼OA=OP=1PQ=OP*sinx=sinx,AB=OA*tanx=tanx由圖可知:△OPQ的面積<扇形OPA的面積<△OAB的面積△OPQ的面積=1/2*PQ*OA=1/2*sinx扇形OPA的面積=1/2*x*1^2=1/2*x△OAB的面積=1/2*AB*OA=1/2*tanx代入剛剛的面積大小關係就得:sinx<x<tanx(0<x<π/2)以下運用夾逼準則證明右極限等於1上式各項取倒數，得:1/tanx<1/x<1/sinx各項乘以sinx,得:cosx<(sinx)/x<1當x趨向0式，上面不等式中，cosx趨向1而最右面也是1，由夾逼準則便有limsinx/x=1(x趨向0(+))因為sinx/x是偶函式，圖象關於y軸對稱所以limsinx/x=1(x趨向0(-))左右極限相等，都等於1所以:limsinx/x=1(x趨向0)