證明實數集不可數有理數集可數就是了。先證明實數不可數：(錯誤證明：因為正半軸加也加不完負半軸減也減不完，這輩子你也幹不完……或者是因為是無限的……駁斥：這樣只能證明實數是無限集不能證可數和不可數。可數指的是能與自然數集一一對應，而不可數集是指不能和自然數一一對應。)正確證明：假設實數是可數的，則(0，1)是可數的。a0=0.010010001…a1 = 0.0147574628...a2 = 0.3793817237...a3 = 0.2323232323...a4 = 0.0004838211...a5 = 0.9489129145............那麼我就構造這麼一個小數，小數點後第一位不等於a1的第一位，小數點後第二位不等於a2的第二位，總之小數點後第i位不等於ai的第i位。這個數屬於實數區間[0,1]，但它顯然不在數列上。所以上面的數列不可能包含所有實數。這是一個矛盾，說明[0，1]是不可數的。所以實數集是不可數的。再證明有理數是可數的，∵有理數能寫成m/n形式：所以有理數可以這樣排列0 1 -1 1/2 -1/2 2 -2 1/3 -1/3 2/3 -2/3 3/2 -3/2 3 -3……然後0→0，1→1，2→-1，3→1/2，4→-1/2……這樣，所有的有理數都能對應一個自然數，所以有理數是可數的。實數不可數，有理數可數，因此無理數也不可數，因此無理數集和實數集等勢(不可數集減去可數集不改變勢)。
證明實數集不可數有理數集可數就是了。先證明實數不可數：(錯誤證明：因為正半軸加也加不完負半軸減也減不完，這輩子你也幹不完……或者是因為是無限的……駁斥：這樣只能證明實數是無限集不能證可數和不可數。可數指的是能與自然數集一一對應，而不可數集是指不能和自然數一一對應。)正確證明：假設實數是可數的，則(0，1)是可數的。a0=0.010010001…a1 = 0.0147574628...a2 = 0.3793817237...a3 = 0.2323232323...a4 = 0.0004838211...a5 = 0.9489129145............那麼我就構造這麼一個小數，小數點後第一位不等於a1的第一位，小數點後第二位不等於a2的第二位，總之小數點後第i位不等於ai的第i位。這個數屬於實數區間[0,1]，但它顯然不在數列上。所以上面的數列不可能包含所有實數。這是一個矛盾，說明[0，1]是不可數的。所以實數集是不可數的。再證明有理數是可數的，∵有理數能寫成m/n形式：所以有理數可以這樣排列0 1 -1 1/2 -1/2 2 -2 1/3 -1/3 2/3 -2/3 3/2 -3/2 3 -3……然後0→0，1→1，2→-1，3→1/2，4→-1/2……這樣，所有的有理數都能對應一個自然數，所以有理數是可數的。實數不可數，有理數可數，因此無理數也不可數，因此無理數集和實數集等勢(不可數集減去可數集不改變勢)。