問:已知數列的遞推式(及初始項或約束項)求通項這類問題的基本思想.
答:
高中課程中,主要講等差數列,等比數列;複雜的問題,也透過轉化為這兩者來解決.
可以看到,等差數列,等比數列的遞推式:An=A(n-1)+d;An=qA(n-1),均是一階遞推關係(階數:即式中未知項的下標差),其一般形為An+xA(n-1)+y=0.也可轉化為如下(*1)
可以透過簡單的轉化,求得An+xA(n-1)+y=0型遞推關係的解,即求得通項An.例：
已知：xa(n)＝ya(n-1)＋z （*1）
問：如何構造出等比數列，從而求出通項a(n)
解：設xa(n)-u=v(xa(n-1)-u) （*2）
與xa(n)＝ya(n-1)＋z比較，得
vx＝y，u-uv＝z
解之得：v＝y/x，u＝z/(1-v)＝xz/(x-y)
對於z為n的函式的情況,參見此處回答後給出的連結.
如果是a(n+1),a(n),a(n-1)三者的線性關係,稱之為二階線性遞推式.
對於二階遞推式,可以轉化為一階關係來求解.這正與我們研究二次方程時將它轉化為兩個一次方程一樣.正鑑於此,人們在此基礎上進一步總結,最後脫離了轉化過程,象下圍棋的定式一般,總結到了方法,得到了公式,於是就有了特徵根法,等等.
問:已知數列的遞推式(及初始項或約束項)求通項這類問題的基本思想.
答:
高中課程中,主要講等差數列,等比數列;複雜的問題,也透過轉化為這兩者來解決.
可以看到,等差數列,等比數列的遞推式:An=A(n-1)+d;An=qA(n-1),均是一階遞推關係(階數:即式中未知項的下標差),其一般形為An+xA(n-1)+y=0.也可轉化為如下(*1)
可以透過簡單的轉化,求得An+xA(n-1)+y=0型遞推關係的解,即求得通項An.例：
已知：xa(n)＝ya(n-1)＋z （*1）
問：如何構造出等比數列，從而求出通項a(n)
解：設xa(n)-u=v(xa(n-1)-u) （*2）
與xa(n)＝ya(n-1)＋z比較，得
vx＝y，u-uv＝z
解之得：v＝y/x，u＝z/(1-v)＝xz/(x-y)
對於z為n的函式的情況,參見此處回答後給出的連結.
如果是a(n+1),a(n),a(n-1)三者的線性關係,稱之為二階線性遞推式.
對於二階遞推式,可以轉化為一階關係來求解.這正與我們研究二次方程時將它轉化為兩個一次方程一樣.正鑑於此,人們在此基礎上進一步總結,最後脫離了轉化過程,象下圍棋的定式一般,總結到了方法,得到了公式,於是就有了特徵根法,等等.