凸函式,是數學函式的一類特徵。凸函式就是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式。凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式f，而且對於凸子集C中任意兩個向量, f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2))/2,則f(x)是定義在凸子集c中的凸函式（該定義與凸規劃中凸函式的定義是一致的，下凸）。定義在某個開區間C內的凸函式f在C內連續，且在除可數個點之外的所有點可微。如果C是閉區間，那麼f有可能在C的端點不連續。一元可微函式在某個區間上是凸的，當且僅當它的導數在該區間上單調不減。一元連續可微函式在區間上是凸的，當且僅當函式位於所有它的切線的上方：對於區間內的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f "(x) (y − x）。特別地，如果f "(c) = 0，那麼c是f(x）的最小值。一元二階可微的函式在區間上是凸的，當且僅當它的二階導數是非負的；這可以用來判斷某個函式是不是凸函式。如果它的二階導數是正數，那麼函式就是嚴格凸的，但反過來不成立。例如，f(x) = x4的二階導數是f "(x) = 12 x2，當x = 0時為零，但x4是嚴格凸的。更一般地，多元二次可微的連續函式在凸集上是凸的，當且僅當它的黑塞矩陣在凸集的內部是正定的。凸函式的任何極小值也是最小值。嚴格凸函式最多有一個最小值。對於凸函式f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函式不一定是凸函式；這樣的函式稱為擬凸函式。延森不等式對於每一個凸函式f都成立。如果X是一個隨機變數，在f的定義域內取值，那麼（在這裡，E表示數學期望。）凸函式還有一個重要的性質：對於凸函式來說，區域性最小值就是全域性最小值。
凸函式,是數學函式的一類特徵。凸函式就是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式。凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式f，而且對於凸子集C中任意兩個向量, f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2))/2,則f(x)是定義在凸子集c中的凸函式（該定義與凸規劃中凸函式的定義是一致的，下凸）。定義在某個開區間C內的凸函式f在C內連續，且在除可數個點之外的所有點可微。如果C是閉區間，那麼f有可能在C的端點不連續。一元可微函式在某個區間上是凸的，當且僅當它的導數在該區間上單調不減。一元連續可微函式在區間上是凸的，當且僅當函式位於所有它的切線的上方：對於區間內的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f "(x) (y − x）。特別地，如果f "(c) = 0，那麼c是f(x）的最小值。一元二階可微的函式在區間上是凸的，當且僅當它的二階導數是非負的；這可以用來判斷某個函式是不是凸函式。如果它的二階導數是正數，那麼函式就是嚴格凸的，但反過來不成立。例如，f(x) = x4的二階導數是f "(x) = 12 x2，當x = 0時為零，但x4是嚴格凸的。更一般地，多元二次可微的連續函式在凸集上是凸的，當且僅當它的黑塞矩陣在凸集的內部是正定的。凸函式的任何極小值也是最小值。嚴格凸函式最多有一個最小值。對於凸函式f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函式不一定是凸函式；這樣的函式稱為擬凸函式。延森不等式對於每一個凸函式f都成立。如果X是一個隨機變數，在f的定義域內取值，那麼（在這裡，E表示數學期望。）凸函式還有一個重要的性質：對於凸函式來說，區域性最小值就是全域性最小值。