無限迴圈小數具有特殊的性質：

　　 （1）它的迴圈體至少有一位數字；

　　 （2）它沒有最後一位，永遠寫不到頭。

　　無限迴圈小數 0.999… 更是奇怪。現有的數學體系既能證明它等於 1，又能證明它不等於 1。

　　我們首先證明無限迴圈小數 0.999… 等於 1。

　　因為

　　 1/9 = 0.111… （1）

　　兩邊同時乘以9，得

　　 9/9 = 0.999… （2）

　　故有

　　 1 = 0.999… （3）

　　證畢。

　　現在，我們再證明無限迴圈小數 0.999… 不等於 1。

　　設 n 是無限迴圈小數 0.999… 中 9 的個數，根據數學歸納法

　　 n = 1 時，0.9 ≠ 1 成立；

　　 n = 2 時，0.99 ≠ 1 成立；

　　 n = 3 時，0.999 ≠ 1 成立；

　　 ……

　　 n = ∞ 時，0.999… ≠ 1 成立；

　　於是

　　 0.999… ≠ 1 （4）

　　證畢。

　　兩種方法都是現代數學中最嚴謹的證明，無懈可擊，但結論卻互相矛盾，這是 “悖論” 的典型特徵，它表明現有的數學理論體系存在著非常嚴重的缺陷。為了方便，我們稱無限迴圈小

數 0.999… 所引起的這一悖論為“無限迴圈小數悖論”……

　　（上面的內容是我的博文中的一段，與你的1/3問題非常相近，詳細請閱讀我的文章：

七星紫微：無限迴圈小數悖論與第四次數學危機）