如果p是素數,並且p≡3(mod4),那麼[(p-1)/2]!≡±1(modp),證明過程 證： 由威爾遜(wilson)定理， (p-1)!≡-1(modp),以下用==表同餘。 其中各乘項(分別為1,2,…,p-1)構成素數p的縮剩餘系(或簡化剩餘系，既約剩餘系，簡稱縮系)。 易見，在縮系的各個剩餘類中各取一個代表元，所構成的代表元的連乘積==-1modp. 易見可取這些代表元為±1,±2,...,±(p-1)/2,於是連乘得到 (-1)^[(p-1)/2)]*([(p-1)/2]!)^2==-1(modp), 又p=3mod4,故(-1)^[(p-1)/2)]=(-1)^(1+2t)=-1 ([(p-1)/2]!)^2==1modp 故[(p-1)/2]!==±1(modp),得證。 例如 由wilson定理得 6!==-1mod7==1,2,3,-3,-2,-1之積,從而(3!)^2==1mod7 驗證了題目的結論： 當p=4k+3，([(p-1)/2]!)^2==1modp,[(p-1)/2]!==±1(modp) 外一則，同理， 當p=4k+1時，([(p-1)/2]!)^2==-1modp. 如4!==-1mod5==1,2,-2,-1之積,從而(2!)^2==-1mod5
如果p是素數,並且p≡3(mod4),那麼[(p-1)/2]!≡±1(modp),證明過程 證： 由威爾遜(wilson)定理， (p-1)!≡-1(modp),以下用==表同餘。 其中各乘項(分別為1,2,…,p-1)構成素數p的縮剩餘系(或簡化剩餘系，既約剩餘系，簡稱縮系)。 易見，在縮系的各個剩餘類中各取一個代表元，所構成的代表元的連乘積==-1modp. 易見可取這些代表元為±1,±2,...,±(p-1)/2,於是連乘得到 (-1)^[(p-1)/2)]*([(p-1)/2]!)^2==-1(modp), 又p=3mod4,故(-1)^[(p-1)/2)]=(-1)^(1+2t)=-1 ([(p-1)/2]!)^2==1modp 故[(p-1)/2]!==±1(modp),得證。 例如 由wilson定理得 6!==-1mod7==1,2,3,-3,-2,-1之積,從而(3!)^2==1mod7 驗證了題目的結論： 當p=4k+3，([(p-1)/2]!)^2==1modp,[(p-1)/2]!==±1(modp) 外一則，同理， 當p=4k+1時，([(p-1)/2]!)^2==-1modp. 如4!==-1mod5==1,2,-2,-1之積,從而(2!)^2==-1mod5