我來答一波！！不用微積分！！

丟擲結論，銳角三角形的機率是 ，鈍角三角形的機率是 ，直角三角形的機率是 。

首先考慮最簡單的直角三角形，要在圓上構成直角三角形，必須保證這個三角形的一條邊是圓的直徑：

而要在圓上任取兩點構成直徑，這個在機率空間上的測度是 。

我們用 表示銳角三角形的機率，用 表示鈍角三角形的機率。

我們設在圓上任選三個點能構成的所有銳角三角形的集合為 ，鈍角三角形的集合是 。如果他們都是有限的集合，那麼有 ， 。

很不幸的是，顯然 都是無限大的集合。那麼我們要怎麼才能比較無限大的集合的大小呢？答案是構建對映。

對於一個銳角三角形 來說，取點 過圓心 做射線交圓於點 ，那麼由於 ，所以 ，即 是一個鈍角三角形：

同樣地，我們能得到鈍角三角形 。

於是我們能說任意一個銳角三角形對應三個鈍角三角形。

那反過來呢？反過來顯然是個可逆變換。

對於一個鈍角三角形 來說，不失一般性，設 ，從 過 做射線，交圓與 ，類似得，容易證明 。

於是我們又能說，任意一個鈍角三角形對應一個銳角三角形。

所以得出 ， 。

留個作業，在球面上任取四個點，構成的四面體包含球心的機率是多少？滑稽。