證明 在四邊形ABCD中,連線AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD 則三角形ABE和三角形ACD相似 所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1) 又有比例式AB/AC=AE/AD 而角BAC=角DAE 所以三角形ABC和三角形AED相似. BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC 又因為BE+ED>=BD 所以命題得證 推論 任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。 托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓 推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小於另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。 簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式，分析等號成立的條件。 四點不限於同一平面。 在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD*BC+AB*CD=AC*BD 從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 證明： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC於E，PF⊥AB於F，PD⊥BC於D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，於是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共線. 反之，當F、D、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、E共圓.
證明 在四邊形ABCD中,連線AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD 則三角形ABE和三角形ACD相似 所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1) 又有比例式AB/AC=AE/AD 而角BAC=角DAE 所以三角形ABC和三角形AED相似. BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC 又因為BE+ED>=BD 所以命題得證 推論 任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。 托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓 推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小於另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。 簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式，分析等號成立的條件。 四點不限於同一平面。 在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD*BC+AB*CD=AC*BD 從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 證明： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC於E，PF⊥AB於F，PD⊥BC於D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，於是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共線. 反之，當F、D、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、E共圓.