根據原函式存在定理，連續函式一定有原函式。那麼不連續的函式有沒有原函式呢？就考研的範圍來說，對於不連續的函式，只有間斷點是震盪間斷點的函式，才可能有原函式。有沒有原函式跟函式是否有界無關。例如f(x)= 2x·sin(1/x²)-(2/x)·cos(1/x²), x≠00， x=0和f(x)= 2x·cos(1/x) ＋ sin(1/x), x≠00, x=0二者都有震盪間斷點，前者在x=0的鄰域內f(x)無界，後者有界，但二者都有原函式。但是，也有存在震盪間斷點但是無原函式的函式。如f(x) = (1/x)·sin(1/x),x≠00, x=0有界函式是設f(x)是區間E上的函式，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區間E上的有界函式。其中m稱為f(x)在區間E上的下界，M稱為f(x)在區間E上的上界。有界函式並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定義的函式f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時，函式的值就變得越來越大。擴充套件資料：由ƒ (x)=sinx所定義的函式f:R→R是有界的。如果正弦函式是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。 函式 （x不等於-1或1）是無界的。當x越來越接近-1或1時，函式的值就變得越來越大。但是，如果把函式的定義域限制為[2, ∞).，則函式就是有界的。函式是有界的。任何一個連續函式f:[0,1] →R都是有界的。 考慮這樣一個函式：當x是有理數時，函式的值是0，而當x是無理數時，函式的值是1。這個函式是有界的。有界函式並不一定是連續的。設函式f(x)是某一個實數集A上有定義，如果存在正數M 對於一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的則稱函式f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數M則稱函式f(x)在A上無界 設f為定義在D上的函式，若存在數M（L），使得對每一個x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）則稱ƒ在D上有上（下）界的函式，M（L）稱為ƒ在D上的一個上（下）界。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。又若M(L)為ƒ在D上的上（下）界，則任何大於（小於）M（L）的數也是ƒ在D上的上（下）界。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界 。
根據原函式存在定理，連續函式一定有原函式。那麼不連續的函式有沒有原函式呢？就考研的範圍來說，對於不連續的函式，只有間斷點是震盪間斷點的函式，才可能有原函式。有沒有原函式跟函式是否有界無關。例如f(x)= 2x·sin(1/x²)-(2/x)·cos(1/x²), x≠00， x=0和f(x)= 2x·cos(1/x) ＋ sin(1/x), x≠00, x=0二者都有震盪間斷點，前者在x=0的鄰域內f(x)無界，後者有界，但二者都有原函式。但是，也有存在震盪間斷點但是無原函式的函式。如f(x) = (1/x)·sin(1/x),x≠00, x=0有界函式是設f(x)是區間E上的函式，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區間E上的有界函式。其中m稱為f(x)在區間E上的下界，M稱為f(x)在區間E上的上界。有界函式並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定義的函式f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時，函式的值就變得越來越大。擴充套件資料：由ƒ (x)=sinx所定義的函式f:R→R是有界的。如果正弦函式是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。 函式 （x不等於-1或1）是無界的。當x越來越接近-1或1時，函式的值就變得越來越大。但是，如果把函式的定義域限制為[2, ∞).，則函式就是有界的。函式是有界的。任何一個連續函式f:[0,1] →R都是有界的。 考慮這樣一個函式：當x是有理數時，函式的值是0，而當x是無理數時，函式的值是1。這個函式是有界的。有界函式並不一定是連續的。設函式f(x)是某一個實數集A上有定義，如果存在正數M 對於一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的則稱函式f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數M則稱函式f(x)在A上無界 設f為定義在D上的函式，若存在數M（L），使得對每一個x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）則稱ƒ在D上有上（下）界的函式，M（L）稱為ƒ在D上的一個上（下）界。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。又若M(L)為ƒ在D上的上（下）界，則任何大於（小於）M（L）的數也是ƒ在D上的上（下）界。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界 。