證明函式有界的步驟：證明有界的思路是：存在一個正數M，使對所有x，滿足|f(x)|<M。證明無界的思路是：對任意正數M，總存在x，使得|f(x)|>M。

證明函式有界的步驟

1步驟思路

證明有界的思路是：存在一個正數M，使對所有x，滿足|f(x)|<M。

證明無界的思路是：對任意正數M，總存在x，使得|f(x)|>M。

若存在兩個A和B，對一切x∈Df恆有A≤f（x）≤B，則稱函式y=f（x）在Df內是有界函式，否則為無界函式。

f（x）=1/（1+x2）

x→0f（x）→1

x→∞f（x）→0

0≤f（x）≤1所以函式y=f（x）在Df內是有界函式。

2證明方法

1.理論法：若f(x)在定義域[a,b]上連續，或者放寬到常義可積（有限個第一類間斷點），則f(x)在[a,b]上必然有界。

2.計算法：切分(a,b)內連續

limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在則f(x)在定義域[a,b]內有界。

3.運算規則判定：在邊界極限不存在時

有界函式±有界函式=有界函式（有限個，基本不會有無窮個，無窮是個難分高低的狀態）

有界*有界=有界

3注意事項

1、函式在某區間上，要麼有界要麼無界，二者必屬其一；

2、從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間，那麼函式一定是無界的。

一般來說，連續函式在閉區間具有有界性。例如：y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以說它的函式值在7和8之間變化，是有界的，所以具有有界性。但正切函式在有意義區間，比如(-π/2，π/2)內則無界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x），arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常見的有界函式。